Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna jest to funkcja wymierna w postaci:

\(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)

gdzie \(a, b, c, d\) są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek:

\(\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc\neq{0}\)

W przypadku, gdy \(c=0\) funkcja homograficzna staje się funkcją liniową.

Przykłady

Oto przykłady funkcji homograficznych:

  • \(y=\frac{2x+1}{x-4}\)
  • \(y=2x+1\)
  • \(y=\frac{1}{x}\)

Funkcją homograficzną nie jest \(y=\frac{4x+4}{2x+2}\) ponieważ \(ad-bc=0\) i ma stałą wartość \(y=2\).

Własności funkcji homograficznej

Miejsca zerowe funkcji homograficznej

Jeżeli \(a=0\) funkcja homograficzna nie posiada miejsc zerowych.

Jeżeli \(a\neq 0\), to funkcja homograficzna posiada jedno miejsce zerowe \(x_0=-\frac{b}{a}\).

Proporcjonalność odwrotna

Funkcję

\(y=\frac{m}{x}\)

nazywamy proporcjonalnością odwrotną, a liczbę \(m\) nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

O liczbie\(y\) mówimy, że jest odwrotnie proporcjonalna do \(x\).

Przykłady

Oto przykłady proporcjonalności odwrotnych:

  • \(y=\frac{1}{x}\)
  • \(y=\frac{100}{x}\)
  • \(y=\frac{\sqrt{2}}{x}\)
  • \(y=\frac{\frac{1}{2}}{x}\)

Proporcjonalność odwrotna oznacza, że gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje.

Powyższy wzór na proporcjonalność odwrotną można zapisać inaczej: \(x\cdot y=m\).

Przykłady z fizyki

Oto przykłady proporcjonalności odwrotnych z fizyki:

  • Wzór \(v\cdot t =s\), gdzie \(v\) — prędkość, \(t\) — czas, \(s\) — droga.
  • Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do jej częstotliwości \(\lambda=\frac{v}{f}\).

W dalszej części lekcji omawiamy wykres funkcji homograficznej.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-08-19, A-291
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-29



©® Media Nauka 2008-2023 r.