Logo Serwisu Media Nauka


Funkcja homograficzna

definicja Definicja

Funkcja homograficzna jest to funkcja wymierna w postaci

y=\frac{ax+b}{cx+d}

gdzie a, b, c, d są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek:

\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|=ad-bc\neq{0}

W przypadku, gdy c=0 funkcja homograficzna staje się funkcją liniową.

Przykład Przykład

Oto przykłady funkcji homograficznych:

y=\frac{2x+1}{x-4}\\y=2x+1\\y=\frac{1}{x}

Funkcją homograficzną nie jest y=\frac{4x+4}{2x+2} ponieważ ad-bc=0 i ma stałą wartość y=2.

Z definicji funkcji homograficznej wynika, że dla c różnego od zera cx+d\neq{0}\Leftrightarrow{cx}\neq{-d}\Leftrightarrow{x}\neq{-\frac{d}{c}}.

Zatem dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór R\{-d/c}.

W przypadku, gdy c=0 dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład Przykład

Wyznaczmy dziedzinę funkcji y=\frac{1-x}{x^3-31x+30}.

Musimy znaleźć pierwiastki wielomianu znajdującego się w mianowniku. Sprowadza się to do rozwiązania równania algebraicznego Szukamy pierwiastków wśród podzielników wyrazu wolnego: -1, 1, 2, -2, 3, -3, 5, -5, 6, -6, 10, -10, 15, -15. Obliczamy więc wartości wielomianu dla tych liczb.
W(1)=1-31+30=0
W(-1)=-1+31+30=60
W(2)=8-62+30=-24
W(-2)=-8+62+30=84
W(3)=36
W(-3)=96
W(4)=-30
W(-4)=90
W(5)=0
W(-5)=60
W(6)=60
W(-6)=0
Mamy już trzy pierwiastki, więc funkcję możemy zapisać jako y=\frac{1-x}{(x-5)(x+6)(x-1)}
Mianownik musi być różny od zera, a zatem wartość zmiennej nie może być równa 1, 5 i -6.

Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór R\{-6,1,5}


© Media Nauka, 2009-08-19, ART-291





Spis działów

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza matematyczna

Analiza

Geometria

Geometria

Rachunek prawdopodobieństwa

Probabilistyka



Polecamy