Funkcja liniowa

Definicja Definicja

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

y=ax+b,\quad{x}\in{R}

Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

a - jest to współczynnik kierunkowy prostej,
b - jest to wyraz wolny.

Przykłady funkcji liniowej

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

1) y=5x+1,
współczynnik kierunkowy prostej a=5, wyraz wolny b=1.

2) y=16x,
współczynnik kierunkowy prostej a=16, wyraz wolny b=0.

3) y=-x+2,
współczynnik kierunkowy prostej a=-1, wyraz wolny b=2.

4) y=1,
współczynnik kierunkowy prostej a=0, wyraz wolny b=1.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przeciwdziedziną funkcji liniowej jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych R dla a różnego od 0 (mamy tu do czynienia z funkcja pierwszego stopnia),
b) zbiór jednoelementowy {b} (gdzie b to wyraz wolny) dla a=0 (mamy tu do czynienia z funkcją stałą).

Monotoniczność funkcji liniowej

  1. Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie jeżeli a>0
  2. Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie jeżeli a<0
  3. Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie jeżeli a=0.
Funkcja liniowa - wzory

Wzór ogólny funkcji liniowej:

y=ax+b,\quad{x}\in{R}

Miejsce zerowe:
x_0=-\frac{b}{a}

TeoriaDowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty x1, x2 takie, że x1<x2 , czyli: x1 - x2 < 0
Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

f(x1)=ax1+b
f(x2)=ax2+b

Obliczamy różnicę wartości funkcji

f(x1)-f(x2)= ax1+b-(ax2+b)=ax1+b-ax2-b
f(x1)-f(x2)= ax1-ax2=a(x1-x2)

Z założenia wynika, że x1 - x2 < 0, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy a>0 i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc f(x1)-f(x2)= a(x1-x2) <0 , zatem f(x1)<f(x2)

Natomiast gdy a<0 mamy:
f(x1)-f(x2)= a(x1-x2)>0
(iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem f(x1)>f(x2) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe gdy a≠0, równe x_0=-\frac{b}{a},
nie posiada miejsc zerowych gdy a=0 i b≠0 oraz posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych dla a=0 i b=0.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} z osią OX.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dana jest funkcja liniowa f(x)=\frac{3}{4}x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :

A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, że

A. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja liniowa f(x)=(m^2-4)x+2 jest malejąca, gdy :

A. m∈{-2,2}
B. m∈(-2,2)
C. m∈{-∞,2}
D. m∈{2,+∞}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to:

A. f(x)=-1/3x+7/3
B. f(x)=-1/2x+2
C. f(x)=-3x+7
D. f(x)=-2x+4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x)=1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.

  1. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
  2. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).
  3. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
  4. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,−2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy

  1. 1
  2. 3/2
  3. -3/2
  4. -1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b.

Rysunek

A. a + b > 0

B. a + b = 0

C. a·b > 0

D. a·b < 0

Pokaż rozwiązanie zadania.



Inne zagadnienia z tej lekcji

Wykres funkcji liniowej

Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty przez które ona przechodzi.

Wzajemne położenie prostych

Wzajemne położenie prostych

Kiedy proste są równoległe, prostopadłe, a kiedy przecinają się ze sobą pod dowolnym kątem?

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-05-28, ART-221



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.