Funkcja liniowa

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

\(y=ax+b,\quad{x}\in\mathbb{R}\)

Litery \(a\) i \(b\) oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

\(a\) — jest to współczynnik kierunkowy prostej lub współczynnik kierunkowy funkcji liniowej,
\(b\) — jest to wyraz wolny.

Powyższy wzór jest to wzór funkcji liniowej lub postać ogólna funkcji liniowej.

Funkcja liniowa — wzory

Wzór ogólny funkcji liniowej:

\(y=ax+b,\quad{x}\in{R}\)

Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej: \(x_0=-\frac{b}{a}\)

Przykłady funkcji liniowej

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

  1. Funkcja \(y=5x+1\), współczynnik kierunkowy prostej \(a=5\), wyraz wolny \(b=1\).
  2. Funkcja \(y=16x\), współczynnik kierunkowy prostej \(a=16\), wyraz wolny \(b=0\).
  3. Funkcja \(y=-x+2\), współczynnik kierunkowy prostej \(a=-1\), wyraz wolny \(b=2\).
  4. Funkcja \(y=1\), współczynnik kierunkowy prostej \(a=0\), wyraz wolny \(b=1\).

Własności funkcji liniowej

Oto wybrane własności funkcji liniowej:

Dziedzina i zbiór wartości funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).

Przeciwdziedziną funkcji liniowej, czyli zbiorem wartości funkcji jest:

  1. Dla \(a\neq 0\) przeciwdziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\);
  2. Dla \(a=0\) przeciwdziedziną funkcji liniowej jest zbiór jednoelementowy \(\lbrace b\rbrace\) (gdzie \(b\) to wyraz wolny).

Monotoniczność funkcji liniowej

  1. Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie, jeżeli \(a>0\).
  2. Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie, jeżeli \(a<0\).
  3. Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie, jeżeli \(a=0\).

Dowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty \(x_1, x_2\) takie, że \(x_1<x_2\), czyli: \(x_1- x_2< 0\). Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

\(f(x_1)=ax_1+b\)

\(f(x_2)=ax_2+b\)

Obliczamy różnicę wartości funkcji: \(f(x_1)-f(x_2)=ax_1+b-(ax_2+b)=ax_1-ax_2-a(x_1-x_2)\).

Z założenia wynika, że \(x_1- x_2< 0\), więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy \(a>0\) i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc \(f(x_1)-f(x_2)= a(x_1-x_2)<0\) , zatem \(f(x_1)<f(x_2)\).

Natomiast gdy \(a<0\) mamy: \(f(x_1)-f(x_2)= a(x_1-x_2)>0\) (iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem \(f(x_1)>f(x_2)\) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa:

Przykłady

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(3,9)\).

Gdy dane są dwa punkty, które należą do wykresu funkcji liniowej, wyznaczanie wzoru funkcji liniowej sprowadza się do rozwiązania układ równań. Podstawiając do równania \(y=ax+b\) za \(x\) i \(y\) odpowiednie współrzędne danych punktów wyliczamy \(a\) i \(b\).

\(\begin{cases} 2=a\cdot 1 +b\\ 9=a\cdot 3+b\end{cases}\)

Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymamy:

\(7=2a/:2\)

\(a=\frac{7}{2}\)

\(b=2-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}\)

Wzór szukanej funkcji liniowej to \(y=\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}\).

A oto inny przykład.

Przykłady

Jakie własności ma funkcja \(y=\frac{1}{2}x-6\)?

  • Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
  • Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
  • Funkcja jest rosnąca w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest dodatni).
  • Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{\frac{1}{2}}=12\).

Jakie własności ma funkcja \(y=-x+1\)?

  • Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
  • Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
  • Funkcja jest malejąca w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest ujemny).
  • Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{-1}=1\).

Jakie własności ma funkcja \(y=1\)?

  • Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
  • Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór jednoelementowy \(\lbrace 1 \rbrace\).
  • Funkcja jest stała w całej swej dziedzinie (bo współczynnik kierunkowy jest równy zero).
  • Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Kalkulator

Kalkulator
Kalkulator — funkcja liniowa

Wpisz wzór funkcji liniowej, podając współczynniki \(a\) i \(b\) we wzorze \(y=ax+b\):

y= x+

Rozwiązanie:

Pytania

Czy \(x=1\) jest wzorem funkcji liniowej?

Nie. To nawet nie jest funkcja.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} z osią OX.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. \(8\)

B. \(6\)

C. \(-6\)

D. \(-8\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem:

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że

A. \(b=4\)

B. \(b=-\frac{3}{2}\)

C. \(b=-\frac{8}{3}\)

D. \(b=\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-4)x+2\) jest malejąca, gdy:

A. \(m\in [-2,2]\)

B. \(m\in (-2,2)\)

C. \(m\in (-\infty,2]\)

D. \(m\in [2,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\). Do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(-2,3)\). Wzór funkcji \(f\) to:

A. \(f(x)=-\frac{1}{3}x+7/3\)

B. \(f(x)=-\frac{1}{2}x+2\)

C. \(f(x)=-3x+7\)

D. \(f(x)=-2x+4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

  1. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).
  2. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
  3. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).
  4. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,−2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

  1. \(1\)
  2. \(\frac{3}{2}\)
  3. \(-\frac{3}{2}\)
  4. \(-1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).

Rysunek

A. \(a+b>0\)

B. \(a+b=0\)

C. \(a\cdot b>0\)

D. \(a\cdot b<0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-05-28, A-221
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-10



©® Media Nauka 2008-2023 r.