Funkcja liniowa

Definicja

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

$y=ax+b,\quad{x}\in{R}$

Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

a - jest to współczynnik kierunkowy prostej,
b - jest to wyraz wolny.

Przykłady funkcji liniowej

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

1) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=5, wyraz wolny b=1.

2) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=16, wyraz wolny b=0.

3) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=-1, wyraz wolny b=2.

4) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=0, wyraz wolny b=1.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przeciwdziedziną funkcji liniowej jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych R dla a różnego od 0 (mamy tu do czynienia z funkcja pierwszego stopnia),
b) zbiór jednoelementowy {b} (gdzie b to wyraz wolny) dla a=0 (mamy tu do czynienia z funkcją stałą).

Monotoniczność funkcji liniowej

Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie jeżeli a>0
Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie jeżeli a<0
Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie jeżeli a=0.

Funkcja liniowa - wzory

Wzór ogólny funkcji liniowej:

$y=ax+b,\quad{x}\in{R}$

Miejsce zerowe:
$x_0=-\frac{b}{a}$

Dowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty x₁, x₂ takie, że x₁<x₂ , czyli: x₁ - x₂ < 0
Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

f(x₁)=ax₁+b
f(x₂)=ax₂+b

Obliczamy różnicę wartości funkcji

f(x₁)-f(x₂)= ax₁+b-(ax₂+b)=ax₁+b-ax₂-b
f(x₁)-f(x₂)= ax₁-ax₂=a(x₁-x₂)

Z założenia wynika, że x₁ - x₂ < 0, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy a>0 i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc f(x₁)-f(x₂)= a(x₁-x₂) <0 , zatem f(x₁)<f(x₂)

Natomiast gdy a<0 mamy:
f(x₁)-f(x₂)= a(x₁-x₂)>0
(iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem f(x₁)>f(x₂) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe gdy a≠0, równe $x_0=-\frac{b}{a}$ ,
nie posiada miejsc zerowych gdy a=0 i b≠0 oraz posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych dla a=0 i b=0.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$ z osią OX.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$ . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :

A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, że

A. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Funkcja liniowa

jest malejąca, gdy :

A. m∈{-2,2}
B. m∈(-2,2)
C. m∈{-∞,2}
D. m∈{2,+∞}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to:

A. f(x)=-1/3x+7/3
B. f(x)=-1/2x+2
C. f(x)=-3x+7
D. f(x)=-2x+4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x)=1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,−2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy