Logo Media Nauka

Funkcja liniowa

Definicja Definicja

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

y=ax+b,\quad{x}\in{R}

Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:

a - jest to współczynnik kierunkowy prostej,
b - jest to wyraz wolny.

Przykłady funkcji liniowej

Oto kilka przykładów funkcji liniowych:

1) y=5x+1,
współczynnik kierunkowy prostej a=5, wyraz wolny b=1.

2) y=16x,
współczynnik kierunkowy prostej a=16, wyraz wolny b=0.

3) y=-x+2,
współczynnik kierunkowy prostej a=-1, wyraz wolny b=2.

4) y=1,
współczynnik kierunkowy prostej a=0, wyraz wolny b=1.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przeciwdziedziną funkcji liniowej jest:

a) zbiór liczb rzeczywistych R dla a różnego od 0 (mamy tu do czynienia z funkcja pierwszego stopnia),
b) zbiór jednoelementowy {b} (gdzie b to wyraz wolny) dla a=0 (mamy tu do czynienia z funkcją stałą).

Monotoniczność funkcji liniowej

  1. Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie jeżeli a>0
  2. Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie jeżeli a<0
  3. Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie jeżeli a=0.
Funkcja liniowa - wzory

Wzór ogólny funkcji liniowej:

y=ax+b,\quad{x}\in{R}

Miejsce zerowe:
x_0=-\frac{b}{a}

TeoriaDowód

Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.

Wybieramy dwa dowolne argumenty x1, x2 takie, że x1<x2 , czyli: x1 - x2 < 0
Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:

f(x1)=ax1+b
f(x2)=ax2+b

Obliczamy różnicę wartości funkcji

f(x1)-f(x2)= ax1+b-(ax2+b)=ax1+b-ax2-b
f(x1)-f(x2)= ax1-ax2=a(x1-x2)

Z założenia wynika, że x1 - x2 < 0, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy a>0 i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).

Mamy tutaj więc f(x1)-f(x2)= a(x1-x2) <0 , zatem f(x1)<f(x2)

Natomiast gdy a<0 mamy:
f(x1)-f(x2)= a(x1-x2)>0
(iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem f(x1)>f(x2) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).

(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.

Funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe gdy a≠0, równe x_0=-\frac{b}{a},
nie posiada miejsc zerowych gdy a=0 i b≠0 oraz posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych dla a=0 i b=0.


© medianauka.pl, 2009-05-28, ART-221





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Funkcja liniowa

zadanie-ikonka Zadanie - miejsce zerowe funkcji liniowej
Wyznaczyć punkt przecięcia się wykresu funkcji y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} z osią OX.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom podstawowy)
Dana jest funkcja liniowa f(x)=\frac{3}{4}x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

A. 8
B. 6
C. -6
D. -8

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 9, matura 2015 (poziom podstawowy)
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :

A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom podstawowy)
Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, że

A. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 6, matura 2014
Funkcja liniowa f(x)=(m^2-4)x+2 jest malejąca, gdy :

A. m∈{-2,2}
B. m∈(-2,2)
C. m∈{-∞,2}
D. m∈{2,+∞}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 18, matura 2014
O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to:

A. f(x)=-1/3x+7/3
B. f(x)=-1/2x+2
C. f(x)=-3x+7
D. f(x)=-2x+4

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Wykres funkcji liniowejWykres funkcji liniowej
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty przez które ona przechodzi.
Wzajemne położenie prostychWzajemne położenie prostych
Kiedy proste są równoległe, prostopadłe, a kiedy przecinają się ze sobą pod dowolnym kątem?



© Media Nauka 2008-2018 r.