Funkcja liniowa
Definicja
Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem:

Litery a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste. Liczby te posiadają swoje nazwy:
a - jest to współczynnik kierunkowy prostej,
b - jest to wyraz wolny.
Przykłady funkcji liniowej
Oto kilka przykładów funkcji liniowych:
1) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=5, wyraz wolny b=1.
2) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=16, wyraz wolny b=0.
3) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=-1, wyraz wolny b=2.
4) ,
współczynnik kierunkowy prostej a=0, wyraz wolny b=1.
Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.
Przeciwdziedziną funkcji liniowej jest:
a) zbiór liczb rzeczywistych R dla a różnego od 0 (mamy tu do czynienia z funkcja pierwszego stopnia),
b) zbiór jednoelementowy {b} (gdzie b to wyraz wolny) dla a=0 (mamy tu do czynienia z funkcją stałą).
Monotoniczność funkcji liniowej
- Funkcja liniowa jest rosnąca w całej swej dziedzinie jeżeli a>0
- Funkcja liniowa jest malejąca w całej swej dziedzinie jeżeli a<0
- Funkcja liniowa jest stała w całej swej dziedzinie jeżeli a=0.
Wzór ogólny funkcji liniowej:
Miejsce zerowe:
Dowód
Udowodnimy pierwsze i drugie twierdzenie.
Wybieramy dwa dowolne argumenty x1, x2 takie, że x1<x2 , czyli: x1 - x2 < 0
Sprawdzimy jak się zachowują wartości funkcji dla tych argumentów. Obliczmy więc wartości funkcji:
f(x1)=ax1+b
f(x2)=ax2+b
Obliczamy różnicę wartości funkcji
f(x1)-f(x2)= ax1+b-(ax2+b)=ax1+b-ax2-b
f(x1)-f(x2)= ax1-ax2=a(x1-x2)
Z założenia wynika, że x1 - x2 < 0, więc powyższy iloczyn jest mniejszy od zera, gdy a>0 i wówczas mamy do czynienia z funkcją rosnącą (bo gdy rosną argumenty funkcji, rosną też wartości funkcji).
Mamy tutaj więc f(x1)-f(x2)= a(x1-x2) <0 , zatem f(x1)<f(x2)
Natomiast gdy a<0 mamy:
f(x1)-f(x2)= a(x1-x2)>0
(iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni) zatem f(x1)>f(x2) i mamy do czynienia z funkcją malejącą (dla rosnących argumentów funkcji maleją wartości funkcji).
(Jeżeli nie zrozumiałeś toku myślowego w powyższym postępowaniu, zapoznaj się z artykułem, dotyczącym badaniu monotoniczności funkcji.)
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Poniżej wyjaśniamy jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.
Funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe gdy a≠0, równe ,
nie posiada miejsc zerowych gdy a=0 i b≠0 oraz posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych dla a=0 i b=0.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dana jest funkcja liniowa
A. 8
B. 6
C. -6
D. -8
Zadanie nr 3 — maturalne.
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(m-1)x+3 leży punkt S=(5,-2). Zatem :A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=2
Zadanie nr 4 — maturalne.
Funkcja liniowa f określona wzorem f(x)=2x+b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa g(x)=-3x+4. Stąd wynika, żeA. b=4
B. b=-3/2
C. b=-8/3
D. b=4/3
Zadanie nr 5 — maturalne.
Funkcja liniowa
A. m∈{-2,2}
B. m∈(-2,2)
C. m∈{-∞,2}
D. m∈{2,+∞}
Zadanie nr 6 — maturalne.
O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to:A. f(x)=-1/3x+7/3
B. f(x)=-1/2x+2
C. f(x)=-3x+7
D. f(x)=-2x+4
Zadanie nr 7 — maturalne.
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x)=1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
- Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
- Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).
- Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3).
- Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,−2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
- 1
- 3/2
- -3/2
- -1
Zadanie nr 9 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b.
A. a + b > 0
B. a + b = 0
C. a·b > 0
D. a·b < 0
Inne zagadnienia z tej lekcji
Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty przez które ona przechodzi.
Wzajemne położenie prostych

Kiedy proste są równoległe, prostopadłe, a kiedy przecinają się ze sobą pod dowolnym kątem?
© medianauka.pl, 2009-05-28, ART-221