Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Jak narysować wykres funkcji liniowej? Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty, przez które ona przechodzi. Zwykle są to punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych.

Punkt przecięcia prostej o równaniu \(y=ax+b\):

z osią OY: \((0,b)\),
z osią OX: \((-\frac{b}{a},0)\).

Przykłady

Narysuj wykres funkcji liniowej o równaniu \(y=2x-4\).

Współczynnik kierunkowy \(a=2\), a wyraz wolny \(b=-4\). Sporządzamy tabelkę wartości funkcji(wystarczą dwa punkty):

\(x\)	\(0\)	\(-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2\)
\(y\)	\(b=-4\)	\(0\)

Sporządzamy na podstawie tabelki wykres (zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty \((0,-4)\) oraz \((2,0)\) i prowadzimy przez nie prostą).

Wykres funkcji liniowej y=2x-4

Aby wykreślić wykres funkcji liniowej, możemy obrać sobie dowolne punkty (argumenty funkcji) i obliczyć dla nich poprzez wstawienie do wzoru funkcji wartości funkcji.

Równanie kierunkowe prostej

O równaniu \(y=ax+b\) mówimy, że jest to równanie (kierunkowe) prostej w układzie współrzędnych.

Każda prosta w układzie współrzędnych nierównoległa do osi OX jest opisana równaniem \(y=ax+b\). Natomiast prostą równoległą do osi OY opisujemy równaniem \(x=c, {c}\in \mathbb{R}\).

Ciekawostki

Wykres

Dlaczego prosta równoległa do osi OY nie może być opisana za pomocą funkcji liniowej?

Odpowiedź jest dość prozaiczna. Otóż prosta równoległa do osi OY nie jest wykresem żadnej funkcji! Pamiętamy, że funkcja jest to przyporządkowanie każdemu elementowi z pewnego zbioru dokładnie jednego elementu z innego zbioru. Tutaj jednak jednemu elementowi (liczbie \(c\)) przypisujemy nieskończenie wiele elementów.
Mimo że nie mamy tutaj do czynienia z wykresem funkcji, nie przeszkadza to zapisaniu równania prostej. Ponieważ wszystkie punkty prostej mają tę samą współrzędną \(x\), możemy zapisać równanie prostej w postaci \(x=c\).

Kąt nachylenia prostej

Współczynnik kierunkowy prostej ma wpływ na kąt nachylenia prostej do osi OX układu współrzędnych. Otóż współczynnik ten jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX.

\(a=tg\alpha\)

Wykres

Im większy jest współczynnik \(a\), tym większy kąt nachylenia (bardziej stroma prosta). Ilustruje to poniższy rysunek:

współczynnik kierunkowy prostej

Na położenie prostej w układzie współrzędnych ma wpływ także wyraz wolny. Wyraz wolny \(b\) decyduje o tym, w jakim miejscu prosta przecina oś OY układu współrzędnych. Im większą liczbą jest wyraz wolny, tym wyżej znajduje się wykres. Ilustruje to poniższy rysunek.

wykres

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Wykres Wykres funkcji

Poniższa symulacja pozwala zaobserwować zachowanie się wykresu funkcji liniowej w zależności od wartości współczynników \(a\) i \(b\)

Funkcja w postaci y = ax+b, czyli y = x

a 1

b 0

Miejsce zerowe x₀=0

Przykłady

Do wykresu funkcji \(f\) należą punkty \(A = (0,6)\) oraz \(B=(7, -1)\). Jakie jest równanie kierunkowy tej prostej?

Rozwiązujemy układ równań, podstawiając do ogólnej postaci równania funkcji liniowej za argument i wartość funkcji współrzędne punktów A i B:

\(\begin{cases} 6=a\cdot 0 +b\\ -1=a\cdot 7+b\end{cases}\)

\(\begin{cases} b=6\\ -1=7a+6\end{cases}\)

\(\begin{cases} b=6\\ -7=7a/:7\end{cases}\)

\(\begin{cases} b=6\\ a=-1\end{cases}\)

Odpowiedź: \(y=-x+6\)

Pytania

Jak narysować wykres funkcji liniowej?

Aby naszkicować wykres funkcji liniowej, wystarczy zaznaczyć w układzie współrzędnych dwa punkty i poprowadzić przez nie prostą. Jakie punkty najłatwiej wziąć pod uwagę? Proponujemy miejsce przecięcia się z osią OY (za \(x\) podstaw 0) i oblicz wartość funkcji dla dowolnej innej wartości \(x\).

Na przykład: Mając do czynienia z funkcją \(y=3x-6\), podstawmy za \(x\) liczbę zero. Otrzymujemy \(y=-6\). Mamy więc pierwszy punkt \((0,-6)\). Podstawmy teraz za \(x\) liczbę 2. Otrzymamy \(y=3\cdot 2-6=0\). Mamy więc drugi punkt \((2,0)\). Zaznaczamy oba punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

Jak sporządzić wykres funkcji liniowej w programie Excel?

W tabelce wpisujemy wartości danej funkcji liniowej (patrz pierwszy przykład). Po przygotowaniu danych zaznaczamy komórki arkusza w zakresie danych, a następnie wstawiamy wykres punktowy, przechodząc w menu Excela do zakładki „Wstawianie”, a następnie „Wykres punktowy” i wybieramy dowolny z nich.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Naszkicować wykres funkcji \(y=-\sqrt{2}x+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Naszkicować wykres funkcji \(y=-5x+\frac{1}{2}\), określić jej monotoniczność oraz znaleźć miejsce zerowe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Na rysunku przedstawiona jest prosta \(k\), przechodząca przez punkt \(A=(2,-3)\) i przez początek układu współrzędnych oraz zaznaczony jest kąt \(\alpha\) nachylenia tej prostej do osi \(Ox\).

A. \(tg\alpha = -\frac{2}{3}\)

B. \(tg\alpha = -\frac{3}{2}\)

C. \(tg\alpha = \frac{2}{3}\)

D. \(tg\alpha = \frac{3}{2}\)

ilustracja do zadania

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2, 4). Prosta k jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą l opisuje równanie

A. \(y=\frac{1}{4}x + \frac{7}{2}\)

B. \(y=-\frac{1}{4}x + \frac{7}{2}\)

C. \(y=4x-12\)

D. \(y=4x+12\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,−2)\) i \(B=(−1,6)\) jest określona równaniem

A. \(y=-2x+4\)

B. \(y=-2x-8\)

C. \(y=2x+8\)

D. \(y=2x-4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkty \(A=(−2,6)\) oraz \(B=(3, b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy b jest równe

A. 9

B. (-9)

C. (-4)

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \(x,y\) jednego z niżej zapisanych układów równań \(A–D\).

matura 2023, zadanie 10

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A. \(\begin{cases} y=-x+2\\y=-2x+1\end{cases}\)

B. \(\begin{cases} y=x-2\\y=-2x-1\end{cases}\)

C. \(\begin{cases} y=x-2\\y=2x+1\end{cases}\)

D. \(\begin{cases} y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y).

Zadanie 13, matura z matematyki 2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(a\) oraz liczba \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

A. \(a>0\) i \(b>0\)

B. \(a>0\) i \(b<0\)

C. \(a<0\) i \(b>0\)

D. \(a<0\) i \(b<0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \(x,y\) zaznaczono kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(O=(0,0)\). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią \(0x\), a drugie przechodzi przez punkt \(P=(-3,1)\) (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2023