Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty przez które ona przechodzi. Zwykle są to punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych.

Punkt przecięcia prostej o równaniu y=ax+b
z osią OY: ;
z osią OX: $(-\frac{b}{a},0)$ ;

Przykład

Naszkicujemy wykres funkcji y=2x-4.
Współczynnik kierunkowy a=2, a wyraz wolny b=-4, więc tabela zmienności wygląda następująco:

x	0	$-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$
y	b=-4	0

Oczywiście aby wykreślić wykres funkcji liniowej możemy obrać sobie dowolne punkty (argumenty funkcji) i obliczyć dla nich poprzez wstawienie do wzoru funkcji wartości funkcji.

O równaniu mówimy, że jest to równanie (kierunkowe) prostej w układzie współrzędnych.

Każda prosta w układzie współrzędnych nierównoległa do osi OX jest opisana równaniem . Natomiast prostą równoległą do osi OY opisujemy równaniem $x=c,\quad{c}\in{R}$ .

Ciekawostki

Dlaczego prosta równoległa do osi OY nie może być opisana za pomocą funkcji liniowej?

Odpowiedź jest dość prozaiczna. Otóż prosta równoległa do osi OY nie jest wykresem żadnej funkcji! Pamiętamy, że funkcja jest to przyporządkowanie każdemu elementowi z pewnego zbioru dokładnie jednego elementu z innego zbioru. Tutaj jednak jednemu elementowi (liczbie c) przypisujemy nieskończenie wiele elementów.
Mimo, że nie mamy tutaj do czynienia z wykresem funkcji nie przeszkadza to zapisaniu równania prostej. Ponieważ wszystkie punkty prostej mają tę samą współrzędną x, możemy zapisać równanie prostej w postaci x=c.

Współczynniki kierunkowy prostej ma wpływ na kąt nachylenia prostej do osi OX układu współrzędnych. Otóż współczynnik ten jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX.

$a=tg\alpha$

Im większy jest współczynnik a, tym większy kąt nachylenia (bardziej stroma prosta). Ilustruje to poniższa ilustracja:

Na położenie prostej w układzie współrzędnych ma wpływ także wyraz wolny. wyraz wolny b decyduje o tym, w jakim miejscu prosta przecina oś OY układu współrzędnych. Im większą liczbą jest wyraz wolny, tym wyżej znajduje się wykres. Ilustruje to poniższy rysunek.

Wykres Wykres funkcji

Poniższa symulacja pozwala zaobserwować zachowanie się wykresu funkcji liniowej w zależności od wartości współczynników a i b

Pytania

Jak narysować wykres funkcji liniowej?

Aby naszkicować wykres funkcji liniowej wystarczy zaznaczyć w układzie współrzędnych dwa punkty i poprowadzić przez nie prostą. Jakie punkty najłatwiej wziąć pod uwagę? Proponujemy miejsce przecięcia się z osią OY (za x podstaw 0) i oblicz wartość funkcji dla dowolnej innej wartości x.

Na przykład: Mając do czynienia z funkcją y=3x-6 podstawmy za x liczbę zero. Otrzymujemy y=-6. Mamy więc pierwszy punkt (0,-6). Podstawmy teraz za x liczbę 2. Otrzymamy y=3·2-6=0. Mamy więc drugi punkt (2,0). Zaznaczamy oba punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wykres funkcji liniowej

Zadanie - wykres funkcji liniowej
Naszkicować wykres funkcji $y=-\sqrt{2}x+1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wykres funkcji liniowej
Naszkicować wykres funkcji $y=-5x+\frac{1}{2}$ , określić jej monotoniczność oraz znaleźć miejsce zerowe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 30, matura 2015 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych są dane punkty A =(-43,-12) , B = (50,19). Prosta AB przecina oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja liniowa
Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem: y=ax+b, gdzie a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste.

Wzajemne położenie prostych
Kiedy proste są równoległe, prostopadłe, a kiedy przecinają się ze sobą pod dowolnym kątem?

Test wiedzy