Wzajemne położenie prostych

Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie zależy od ich współczynników kierunkowych.

Teoria Jeżeli znamy równania opisujące dwie proste na płaszczyźnie, to bez konieczności szkicowania ich wykresów możemy stwierdzić, czy proste te są równoległe, prostopadłe, czy też przecinają się ze sobą pod pewnym kątem.

Proste równoległe

Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe jeżeli mają równe współczynniki kierunkowe a.

proste równoległe

Przykład Przykład

Dwie proste wzór są równoległe, ponieważ mają taki sam współczynnik kierunkowy prostej wzór.

Proste prostopadłe

Teoria Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli a_1=-\frac{1}{a_2}.

proste prostopadłe

Przykład Przykład

Dwie proste y=-3x-7,y=-3x+\frac{1}{2} są względem siebie prostopadłe, ponieważ a_1=-3,\quad a_2=\frac{1}{3}\quad i\quad a_1=-\frac{1}{a_2}.

Teoria W pozostałych przypadkach proste przecinają się pod pewnym kątem różnym od kąta prostego. Kiedy współczynniki kierunkowe prostych oraz wyrazy wolne są takie same, to mamy do czynienia z prostymi równoległymi pokrywającymi się (nieskończenie wiele punktów przecięcia się).

Pytania

Jak skonstruować prostą równoległą?

Wyjaśniamy to na filmie w artykule proste równoległe.

Jak skonstruować prostą prostopadłą?

Wyjaśniamy to na filmie w artykule proste prostopadłe.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dana jest prosta o równaniu y=-7x+5. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dana jest prosta o równaniu y=5x+\frac{1}{5}. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Proste opisane równaniami y=\frac{2}{m-1}x+m-2 oraz y=mx+\frac{1}{m+1} są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. m=-2-2\sqrt{2}
D. m=-2+2\sqrt{2}

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Proste o równaniach: y=2mx-m2-1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy

A. m=-1

B. m=0

C. m=1

D. m=5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy

A. a=-4 i b=-2

B. a=1/4 i b=-1/8

C. a=-4 i b=2

D. a=1/4 i b=1/2

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa jest to funkcja określona wzorem: y=ax+b, gdzie a i b oznaczają dowolne liczby rzeczywiste.

Wykres funkcji liniowej

Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Wystarczy więc wyznaczyć dwa punkty przez które ona przechodzi.

Test wiedzy

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.




© medianauka.pl, 2009-06-21, ART-237



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.