Wzajemne położenie prostych

Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie zależy od ich współczynników kierunkowych.

Jeżeli znamy równania opisujące dwie proste na płaszczyźnie, to bez konieczności szkicowania ich wykresów możemy stwierdzić, czy proste te są równoległe, prostopadłe, czy też przecinają się ze sobą pod pewnym kątem.

Proste równoległe

Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe jeżeli mają równe współczynniki kierunkowe a.

Przykład

Dwie proste są równoległe, ponieważ mają taki sam współczynnik kierunkowy prostej .

Proste prostopadłe

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli $a_1=-\frac{1}{a_2}$ .

Przykład

Dwie proste $y=-3x-7,y=-3x+\frac{1}{2}$ są względem siebie prostopadłe, ponieważ $a_1=-3,\quad a_2=\frac{1}{3}\quad i\quad a_1=-\frac{1}{a_2}$ .

W pozostałych przypadkach proste przecinają się pod pewnym kątem różnym od kąta prostego. Kiedy współczynniki kierunkowe prostych oraz wyrazy wolne są takie same, to mamy do czynienia z prostymi równoległymi pokrywającymi się (nieskończenie wiele punktów przecięcia się).

Pytania

Jak skonstruować prostą równoległą?

Wyjaśniamy to na filmie w artykule proste równoległe.

Jak skonstruować prostą prostopadłą?

Wyjaśniamy to na filmie w artykule proste prostopadłe.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wzajemne położenie prostych

Zadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu . Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4