Strona główna » Matematyka » Wzajemne położenie postych na płaszczyźnie

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Rozwiązanie zadania uproszczone

Możliwe są trzy różne przypadki oznaczone na rysunku różnymi kolorami.

1) Proste oznaczone kolorem granatowym.

$A(1,2), B(2,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ -1=2a+b\end{cases}}\\ 2-(-1)=a-2a\\ 3=-a/:(-1)\\a=-3 \\ 2=a+b\\ 2=-3+b\\ b=5\\ \underline{y=-3x+5}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+b_1\\ C(-1,3)\\ 3=\frac{1}{3}\cdot (-1)+b_1\\ -b_1=-3\frac{1}{3}/:(-1)\\ b_1=3\frac{1}{3}\\ \underline{y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}}$

2) Proste oznaczone kolorem różowym.
$B(2,-1), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 2+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}-1=2a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ -1-3=2a-(-a)\\ -4=3a/:3\\a=-\frac{4}{3} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{4}{3})+b\\ b=3-1\frac{1}{3}\\ b=1\frac{2}{3}\\ \underline{y=-\frac{4}{3}x+1\frac{2}{3}}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\\ y=\frac{3}{4}x+b_1\\ A(1,2)\\ 2=\frac{3}{4}\cdot 1+b_1\\ -b_1=-2+\frac{3}{4}/:(-1)\\ b_1=1\frac{1}{4}\\ \underline{y=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}}$

3) Proste oznaczone kolorem zielonym.
$A(1,2), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ 2-3=a-(-a)\\ -1=2a/:2\\a=-\frac{1}{2} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{1}{2})+b\\ b=3-\frac{1}{2}\\ b=2\frac{1}{2}\\ \underline{y=-\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ B(2,-1)\\ -1=2\cdot 2+b_1\\ -b_1=4+1/:(-1)\\ b_1=-5\\ \underline{y=2x-5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Mamy aż trzy różne przypadki oznaczone na rysunku różnymi kolorami. Rysunek sporządzamy następująco: przez dowolne dwa punkty prowadzimy prostą, a następnie przez trzeci punkt prowadzimy prostą prostopadłą. Musimy znaleźć równania wszystkich prostych.

1) Proste oznaczone kolorem granatowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty A i B. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$A(1,2), B(2,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ -1=2a+b\end{cases}}\\ 2-(-1)=a-2a\\ 3=-a/:(-1)\\a=-3 \\ 2=a+b\\ 2=-3+b\\ b=5\\ y=-3x+5$ tło

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=-3x+5, która przechodzi przez punkt C(-1,3). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie 1/3. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+b_1\\ C(-1,3)\\ 3=\frac{1}{3}\cdot (-1)+b_1\\ -b_1=-3\frac{1}{3}/:(-1)\\ b_1=3\frac{1}{3}\\ \underline{y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}}$

Z pozostałymi przypadkami postępujemy identycznie jak wyżej. Będziemy stosować te same oznaczenia współczynników niezależnie od przyjętych w przypadku pierwszym.

2) Proste oznaczone kolorem różowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty B i C. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$B(2,-1), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 2+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}-1=2a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ -1-3=2a-(-a)\\ -4=3a/:3\\a=-\frac{4}{3} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{4}{3})+b\\ b=3-1\frac{1}{3}\\ b=1\frac{2}{3}\\ \underline{y=-\frac{4}{3}x+1\frac{2}{3}}$

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt A(1,2). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu A do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\\ y=\frac{3}{4}x+b_1\\ A(1,2)\\ 2=\frac{3}{4}\cdot 1+b_1\\ -b_1=-2+\frac{3}{4}/:(-1)\\ b_1=1\frac{1}{4}\\ \underline{y=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}}$

3) Proste oznaczone kolorem zielonym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty A i C. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$A(1,2), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ 2-3=a-(-a)\\ -1=2a/:2\\a=-\frac{1}{2} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{1}{2})+b\\ b=3-\frac{1}{2}\\ b=2\frac{1}{2}\\ \underline{y=-\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}}$

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt B(2,-1). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ B(2,-1)\\ -1=2\cdot 2+b_1\\ -b_1=4+1/:(-1)\\ b_1=-5\\ \underline{y=2x-5}$