Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie

Treść zadania:

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek:

Rysunek pomocniczy

Mamy aż trzy różne przypadki oznaczone na rysunku różnymi kolorami. Rysunek sporządzamy następująco: przez dowolne dwa punkty prowadzimy prostą, a następnie przez trzeci punkt prowadzimy prostą prostopadłą. Musimy znaleźć równania wszystkich prostych.

1) Proste oznaczone kolorem granatowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty \(A\) i \(B\). Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej \(y=ax+b\), aby wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\).

\(A(1,2), B(2,-1)\)

\(y=ax+b\)

\(\begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{cases}\)

\(\underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ -1=2a+b\end{cases}}\)

\(2-(-1)=a-2a\)

\(3=-a/:(-1)\)

\(a=-3\)

\(2=a+b\)

\(2=-3+b\)

\(b=5\)

\(y=-3x+5\)

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do \(y=-3x+5\), która przechodzi przez punkt \(C(-1,3)\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez \(y=a_1x+b_1\). Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie \(\frac{1}{3}\). Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_1\):

\(y=a_1x+b_1\)

\(a_1=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\)

\(y=\frac{1}{3}x+b_1\)

\(C(-1,3)\\ 3=\frac{1}{3}\cdot (-1)+b_1\)

\(-b_1=-3\frac{1}{3}/:(-1)\)

\(b_1=3\frac{1}{3}\)

\(\underline{y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}}\)

Z pozostałymi przypadkami postępujemy identycznie jak wyżej. Będziemy stosować te same oznaczenia współczynników niezależnie od przyjętych w przypadku pierwszym.

2) Proste oznaczone kolorem różowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty \(B\) i \(C\). Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej \(y=ax+b\), aby wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\).

\(B(2,-1), C(-1,3)\)

\(y=ax+b\)

\(\begin{cases}-1=a\cdot 2+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\)

\(\underline{_-\begin{cases}-1=2a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\)

\(-1-3=2a-(-a)\)

\(-4=3a/:3\)

\(a=-\frac{4}{3}\)

\(3=-a+b\)

\(3=-(-\frac{4}{3})+b\)

\(b=3-1\frac{1}{3}\)

\(b=1\frac{2}{3}\)

\(\underline{y=-\frac{4}{3}x+1\frac{2}{3}}\)

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt \(A(1,2)\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez \(y=a_1x+b_1\). Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu \(A\) do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_1\):

\(y=a_1x+b_1\)

\(a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\)

\(y=\frac{3}{4}x+b_1\)

\(A(1,2)\\ 2=\frac{3}{4}\cdot 1+b_1\)

\(-b_1=-2+\frac{3}{4}/:(-1)\)

\(b_1=1\frac{1}{4}\)

\(\underline{y=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}}\)

3) Proste oznaczone kolorem zielonym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty \(A\) i \(C\). Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (\(y=ax+b\)), aby wyznaczyć współczynniki \(a\) oraz \(b\).

\(A(1,2), C(-1,3)\)

\(y=ax+b\)

\(\begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\)

\(\underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\)

\(2-3=a-(-a)\)

\(-1=2a/:2\\a=-\frac{1}{2}\)

\(3=-a+b\)

\(3=-(-\frac{1}{2})+b\)

\(b=3-\frac{1}{2}\)

\(b=2\frac{1}{2}\)

\(\underline{y=-\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}}\)

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

\(a_1=-\frac{1}{a_2}\)

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt \(B(2,-1)\). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez \(y=a_1x+b_1\). Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik \(b_1\):

\(y=a_1x+b_1\)

\(a_1=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\)

\(y=2x+b_1\)

\(B(2,-1)\)

\(-1=2\cdot 2+b_1\)

\(-b_1=4+1/:(-1)\)

\(b_1=-5\)

\(\underline{y=2x-5}\)


© medianauka.pl, 2010-03-12, ZAD-687

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:

A. \(m=2\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=\frac{1}{3}\)

D. \(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. \(m=2\)

B. \(m=-2\)

C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)

D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

A. \(m=-\frac{1}{2}\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=1\)

D. \(m=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy

A. \(a=-4\) i \(b=-2\)

B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

C. \(a=-4\) i \(b=2\)

D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów

Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

A. \(m=1\)

B. \(m=3\)

C. \(m=6\)

D. \(m=9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:

\(k: y=-x+1\)

\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)

\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)

\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)

Wśród tych prostych prostopadłe są

A. proste k oraz l.

B. proste k oraz n.

C. proste l oraz m.

D. proste m oraz n.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

A. \(a=3, b=4\)

B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)

C. \(a=3, b=-4\)

D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.