Nauka » Matematyka » Wzajemne położenie prostych

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Rozwiązanie zadania uproszczone

Możliwe są trzy różne przypadki oznaczone na rysunku różnymi kolorami.

1) Proste oznaczone kolorem granatowym.

$A(1,2), B(2,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ -1=2a+b\end{cases}}\\ 2-(-1)=a-2a\\ 3=-a/:(-1)\\a=-3 \\ 2=a+b\\ 2=-3+b\\ b=5\\ \underline{y=-3x+5}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+b_1\\ C(-1,3)\\ 3=\frac{1}{3}\cdot (-1)+b_1\\ -b_1=-3\frac{1}{3}/:(-1)\\ b_1=3\frac{1}{3}\\ \underline{y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}}$

2) Proste oznaczone kolorem różowym.
$B(2,-1), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 2+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}-1=2a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ -1-3=2a-(-a)\\ -4=3a/:3\\a=-\frac{4}{3} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{4}{3})+b\\ b=3-1\frac{1}{3}\\ b=1\frac{2}{3}\\ \underline{y=-\frac{4}{3}x+1\frac{2}{3}}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\\ y=\frac{3}{4}x+b_1\\ A(1,2)\\ 2=\frac{3}{4}\cdot 1+b_1\\ -b_1=-2+\frac{3}{4}/:(-1)\\ b_1=1\frac{1}{4}\\ \underline{y=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}}$

3) Proste oznaczone kolorem zielonym.
$A(1,2), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ 2-3=a-(-a)\\ -1=2a/:2\\a=-\frac{1}{2} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{1}{2})+b\\ b=3-\frac{1}{2}\\ b=2\frac{1}{2}\\ \underline{y=-\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}}$
$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ B(2,-1)\\ -1=2\cdot 2+b_1\\ -b_1=4+1/:(-1)\\ b_1=-5\\ \underline{y=2x-5}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Mamy aż trzy różne przypadki oznaczone na rysunku różnymi kolorami. Rysunek sporządzamy następująco: przez dowolne dwa punkty prowadzimy prostą, a następnie przez trzeci punkt prowadzimy prostą prostopadłą. Musimy znaleźć równania wszystkich prostych.

1) Proste oznaczone kolorem granatowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty A i B. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$A(1,2), B(2,-1)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ -1=2a+b\end{cases}}\\ 2-(-1)=a-2a\\ 3=-a/:(-1)\\a=-3 \\ 2=a+b\\ 2=-3+b\\ b=5\\ y=-3x+5$ tło

Teraz wystarczy skorzystać z własności położenia prostych na płaszczyźnie, pamiętając że proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe prostych, a proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe spełniające warunek:

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do y=-3x+5, która przechodzi przez punkt C(-1,3). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne, a więc są równe liczbie 1/3. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu C do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+b_1\\ C(-1,3)\\ 3=\frac{1}{3}\cdot (-1)+b_1\\ -b_1=-3\frac{1}{3}/:(-1)\\ b_1=3\frac{1}{3}\\ \underline{y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}}$

Z pozostałymi przypadkami postępujemy identycznie jak wyżej. Będziemy stosować te same oznaczenia współczynników niezależnie od przyjętych w przypadku pierwszym.

2) Proste oznaczone kolorem różowym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty B i C. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$B(2,-1), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}-1=a\cdot 2+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}-1=2a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ -1-3=2a-(-a)\\ -4=3a/:3\\a=-\frac{4}{3} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{4}{3})+b\\ b=3-1\frac{1}{3}\\ b=1\frac{2}{3}\\ \underline{y=-\frac{4}{3}x+1\frac{2}{3}}$

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt A(1,2). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu A do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\\ y=\frac{3}{4}x+b_1\\ A(1,2)\\ 2=\frac{3}{4}\cdot 1+b_1\\ -b_1=-2+\frac{3}{4}/:(-1)\\ b_1=1\frac{1}{4}\\ \underline{y=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}}$

3) Proste oznaczone kolorem zielonym.

Wiemy, że jedna z prostych przechodzi przez punkty A i C. Podstawiamy zatem ich współrzędne do ogólnego równania prostej (y=ax+b), aby wyznaczyć współczynniki a oraz b

$A(1,2), C(-1,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}2=a\cdot 1+b\\ 3=a\cdot (-1)+b\end{cases}\\ \underline{_-\begin{cases}2=a+b\\ 3=-a+b\end{cases}}\\ 2-3=a-(-a)\\ -1=2a/:2\\a=-\frac{1}{2} \\ 3=-a+b\\ 3=-(-\frac{1}{2})+b\\ b=3-\frac{1}{2}\\ b=2\frac{1}{2}\\ \underline{y=-\frac{1}{2}x+2\frac{1}{2}}$

$a_1=-\frac{1}{a_2}$

Znajdziemy teraz prostą prostopadłą do wyżej wyznaczonej, która przechodzi przez punkt B(2,-1). Oznaczmy równanie szukanej prostej przez y=a₁x+b₁. Współczynniki kierunkowe obu prostych muszą być przeciwne i odwrotne. Wystarczy teraz podstawić współrzędne punktu B do równania szukanej prostej i w ten sposób wyznaczymy współczynnik b₁:

$y=a_1x+b_1\\ a_1=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2\\ y=2x+b_1\\ B(2,-1)\\ -1=2\cdot 2+b_1\\ -b_1=4+1/:(-1)\\ b_1=-5\\ \underline{y=2x-5}$

Zadania podobne

Zadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu

. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 32, matura 2018

W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.