Nauka » Matematyka » Odległość punktów Wzajemne położenie prostych Odcinek

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

odległość punktu od prostej

Sporządzimy szkic rysunku do niniejszego zadania:

szkic do zadania 5. matura 2015

Szukamy długości d odcinka d=|AO|. Odcinek ten leży na prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli O(0,0).

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli $a_1=-\frac{1}{a_2}$ .

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, współczynnik b jest równy 0.

Mamy więc równanie szukanej prostej:

$y=-\frac{1}{2}x$

Aby znaleźć długość d, musimy poznać współrzędne punktu A, które są rozwiązaniem układu równań naszych prostych. Rozwiązujemy więc układ:

$\begin{cases}y=2x+4\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}\\-\frac{1}{2}x=2x+4/\cdot 2\\ -x=4x+8\\x=-\frac{8}{5}\\y=-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{8}{5})=\frac{4}{5}\\A=(-\frac{8}{5},\frac{4}{5})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Otrzymujemy:

$|OA|=\sqrt{(0+\frac{8}{5})^2+(0-\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64}{5}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź

Odpowiedź B

Zadania podobne

Zadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Długość odcinka
Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że $|\overline{AB}|=1$ i który leży na prostej $x=\frac{1}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach $A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)$ . Znaleźć współrzędne środka odcinka $\overline{AB}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty $A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , gdzie $A=(1,4), \ B=(-2, 1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania