Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Rozwiązanie zadania
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.
Sporządzimy szkic rysunku do niniejszego zadania:
Szukamy długości \(d\) odcinka \(d=|AO|\). Odcinek ten leży na prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli \(O(0,0)\).
Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli \(a_1=-\frac{1}{a_2}\).
Ponieważ szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, współczynnik \(b\) jest równy \(0\).
Mamy więc równanie szukanej prostej:
\(y=-\frac{1}{2}x\)
Aby znaleźć długość \(d\), musimy poznać współrzędne punktu \(A\), które są rozwiązaniem układu równań naszych prostych. Rozwiązujemy więc układ:
\(\begin{cases}y=2x+4\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}\)
\(-\frac{1}{2}x=2x+4/\cdot 2\)
\(-x=4x+8x=-\frac{8}{5}\)
\(y=-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{8}{5})=\frac{4}{5}\)
\(A=(-\frac{8}{5},\frac{4}{5})\)
Skorzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka:
\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)Otrzymujemy:
\(|OA|=\sqrt{(0+\frac{8}{5})^2+(0-\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64}{5}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
Odpowiedź
Odpowiedź B© medianauka.pl, 2017-01-07, ZAD-3362
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Zadanie nr 2.
Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:
Zadanie nr 6 — maturalne.
Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:
A. \(m=2\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{1}{3}\)
D. \(m=-2\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Zadanie nr 8 — maturalne.
Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A. \(m=2\)
B. \(m=-2\)
C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)
D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:
A. \(m=-\frac{1}{2}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=2\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy
A. \(m=-1\)
B. \(m=0\)
C. \(m=1\)
D. \(m=5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy
A. \(a=-4\) i \(b=-2\)
B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C. \(a=-4\) i \(b=2\)
D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy
A. \(m=-\frac{5}{4}\)
B. \(m=\frac{2}{3}\)
C. \(m=\frac{11}{4}\)
D. \(m=\frac{10}{3}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów
Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy
A. \(m=1\)
B. \(m=3\)
C. \(m=6\)
D. \(m=9\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:
\(k: y=-x+1\)
\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)
\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)
\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)
Wśród tych prostych prostopadłe są
A. proste k oraz l.
B. proste k oraz n.
C. proste l oraz m.
D. proste m oraz n.
Zadanie nr 16 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy
A. \(a=3, b=4\)
B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)
C. \(a=3, b=-4\)
D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)