Strona główna » Matematyka » Odległość punktu od figury • Wzajemne położenie postych na płaszczyźnie • Odcinek

zadanie

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

odległość punktu od prostej

Sporządzimy szkic rysunku do niniejszego zadania:

szkic do zadania 5. matura 2015

Szukamy długości d odcinka d=|AO|. Odcinek ten leży na prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli O(0,0).

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli $a_1=-\frac{1}{a_2}$ .

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, współczynnik b jest równy 0.

Mamy więc równanie szukanej prostej:

$y=-\frac{1}{2}x$

Aby znaleźć długość d, musimy poznać współrzędne punktu A, które są rozwiązaniem układu równań naszych prostych. Rozwiązujemy więc układ:

$\begin{cases}y=2x+4\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}\\-\frac{1}{2}x=2x+4/\cdot 2\\ -x=4x+8\\x=-\frac{8}{5}\\y=-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{8}{5})=\frac{4}{5}\\A=(-\frac{8}{5},\frac{4}{5})$

Skorzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Otrzymujemy:

$|OA|=\sqrt{(0+\frac{8}{5})^2+(0-\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64}{5}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Odpowiedź

Odpowiedź B

© medianauka.pl, 2017-01-07, ZAD-3362

Zadania podobne

Zadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka

Zadanie - Długość odcinka
Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że $|\overline{AB}|=1$ i który leży na prostej $x=\frac{1}{2}$

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Zadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach $A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)$ . Znaleźć współrzędne środka odcinka $\overline{AB}$

Zadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty $A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)$

Zadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$ , gdzie $A=(1,4), \ B=(-2, 1)$

Zadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2}x^2$ przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

81 zadań o funkcjach zespolonych

81 zadań o funkcjach zespolonych
Regel Wiesława

50 ważnych twierdzeń matematycznych

50 ważnych twierdzeń matematycznych
Regel Wiesława

Elementy analizy matematycznej

Elementy analizy matematycznej
Maciej Bryński, Norbert Dróbka, Karol Szymański

Kalkulator naukowy 240 funkcji czerwony MILAN K

Kalkulator naukowy 240 funkcji czerwony MILAN K
MILAN

© Media Nauka 2008-2017 r.