Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą.

Sporządzimy szkic rysunku do niniejszego zadania:

Szukamy długości \(d\) odcinka \(d=|AO|\). Odcinek ten leży na prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez początek układu współrzędnych, czyli \(O(0,0)\).

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli \(a_1=-\frac{1}{a_2}\).

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, współczynnik \(b\) jest równy \(0\).

Mamy więc równanie szukanej prostej:

\(y=-\frac{1}{2}x\)

Aby znaleźć długość \(d\), musimy poznać współrzędne punktu \(A\), które są rozwiązaniem układu równań naszych prostych. Rozwiązujemy więc układ:

\(\begin{cases}y=2x+4\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}\)

\(-\frac{1}{2}x=2x+4/\cdot 2\)

\(-x=4x+8x=-\frac{8}{5}\)

\(y=-\frac{1}{2}\cdot (-\frac{8}{5})=\frac{4}{5}\)

\(A=(-\frac{8}{5},\frac{4}{5})\)

Skorzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka:

Otrzymujemy:

\(|OA|=\sqrt{(0+\frac{8}{5})^2+(0-\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{64}{5}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2017-01-07, ZAD-3362

Zadania podobne

Dane są punkty \(A=(-3,-2), B=(2, -2)\). Obliczyć długość odcinka \(\overline{AB}\).

Dany jest punkt \(A=(1,4)\). Znaleźć taki punkt \(B\), że \(|\overline{AB}|=1\) i który leży na prostej \(x=\frac{1}{2}\).

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty \(A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)\).

Dany jest odcinek o końcach \(A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4)\). Znaleźć współrzędne środka odcinka \(\overline{AB}\).

Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty \(A=(0,0), B=(1,2), C=(3,1), D=(2,-1)\).

Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(1,4), \ B=(-2, 1)\).

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że:

A. \(a=5\) i \(b=5\)

B. \(a=-1\) i \(b=2\)

C. \(a=4\) i \(b=10\)

D. \(a=-4\) i \(b=-2\)

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

A. \(12\)

B. \(6\)

C. \(6\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

Punkt B jest obrazem punktu \(A=(−3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A. \(2\sqrt{34}\)

B. \(8\)

C. \(\sqrt{34}\)

D. \(12\)

Punkty \(K=(4,−10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa (−12). Wynika stąd, że

A. \(b=-28\)

B. \(b=-14\)

C. \(b=-24\)

D. \(b=-10\)