Nauka » Matematyka » Odcinek Deltoid Wzajemne położenie prostych

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.

Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu C i D. Zadanie podzielę na kilka etapów.

Etap I - Szukamy współrzędnej punktu D

Zauważamy, że punkt D leży na prostej prostopadłej do prostej m, dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie S pod kątem prostym. Proste m i n są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta m jest opisana równaniem x-y+2=0, czyli y=x+2, to jej współczynnik kierunkowy jest równy 1. Współczynnik kierunkowy prostej n jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli n: y=ax+b, to a=-1 i y=-x+b. Wiemy, że B=(0,8) leży na prostej n, więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:

$y=-x+b\\ B=(0,8)\\0=-1\cdot 0+b\\ b=8\\a=-1\\ y=-x+8$

Punkt S jest jest punktem przecięcia się prostych m i n, czyli współrzędne punktu S są rozwiązaniem układu:

$\begin{cases} y=x+2\\y=-x+8\end{cases}\\ 0=2x-6\\2x=6\\ x=3\\y=3+2\\ y=5\\ S=(3,5)$

Punkt S jest środkiem odcinka BD. Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:

$x_s=\frac{x_B+x_D}{2}\\ 3=\frac{0+x_D}{2}\\ x_D=6 \\ y_s=\frac{y_B+y_D}{2}\\ 5=\frac{8+y_D}{2}\\ y_D=2\\ D=(6,2)$

Etap II - szukamy współrzędnych punktu C.

Niech środek okręgu będzie oznaczony przez O = (o_x,o_y). Wiemy, że O leży na prostej y=x+2, zatem współrzędne punktu O=(o_x,o_x+2).

Ponadto wiemy, że |OA|=|OB|. Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:

$|OA|=|OB|\\|OA|^2=|OB|^2\\ O=(o_x, o_y)\\ (o_x-30)^2+(o_x+2-32)^2=(o_x-0)^2+(o_x+2-8)^2\\ o_x=\frac{49}{3}\\ o_y=o_x+2=\frac{55}{3}\\ O=(\frac{49}{3},\frac{55}{3})$

Teraz już łatwo znajdziemy punkt C, korzystając z tego, że punkt O jest środkiem odcinka AC, a współrzędne A i O są dane:

$o_x=\frac{x_A+x_C}{2}\\ \frac{49}{3}=\frac{30+x_C}{2}\\ \frac{98}{3}=30+x_C\\ x_C=\frac{8}{3} \\ o_y=\frac{y_A+y_C}{2}\\ \frac{55}{3}=\frac{32+y_C}{2}\\ \frac{110}{3}=32+y_C\\ y_C=\frac{14}{3}$

Odpowiedź

$D=(6,2)\\ C=(\frac{8}{3},\frac{14}{3})$

Zadania podobne

Zadanie - wzajemne położenie prostych w układzie
Dana jest prosta o równaniu

. Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Dana jest prosta o równaniu $y=5x+\frac{1}{5}$ . Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt A(1,-1).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:
wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2015 (poziom podstawowy)
Prosta l o równaniu y=m²x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:

A. m=2
B. m=-2
C. $m=-2-2\sqrt{2}$
D. $m=-2+2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2015 (poziom podstawowy)
Proste o równaniach: y=2mx-m²-1 oraz y=4m²x+m²+1 są prostopadłe dla:

A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania