Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.

Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu C i D. Zadanie podzielę na kilka etapów.
Etap I - Szukamy współrzędnej punktu D
Zauważamy, że punkt D leży na prostej prostopadłej do prostej m, dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie S pod kątem prostym. Proste m i n są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta m jest opisana równaniem x-y+2=0, czyli y=x+2, to jej współczynnik kierunkowy jest równy 1. Współczynnik kierunkowy prostej n jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli n: y=ax+b, to a=-1 i y=-x+b. Wiemy, że B=(0,8) leży na prostej n, więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:

Punkt S jest jest punktem przecięcia się prostych m i n, czyli współrzędne punktu S są rozwiązaniem układu:

Punkt S jest środkiem odcinka BD. Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:

Etap II - szukamy współrzędnych punktu C.
Niech środek okręgu będzie oznaczony przez O = (ox,oy). Wiemy, że O leży na prostej y=x+2, zatem współrzędne punktu O=(ox,ox+2).
Ponadto wiemy, że |OA|=|OB|. Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:

Teraz już łatwo znajdziemy punkt C, korzystając z tego, że punkt O jest środkiem odcinka AC, a współrzędne A i O są dane:

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3284
Zadania podobne

Dana jest prosta o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Dana jest prosta o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty A(1,2), B(2,-1), C(-1,3).
Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie ABC przedstawionym na poniższym rysunku:

Pokaż rozwiązanie zadania

Proste opisane równaniami


A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2
Pokaż rozwiązanie zadania

Prosta l o równaniu y=m2x+3 jest równoległa do prostej k o równaniu y=(4m-4)x-3. Zatem:
A. m=2
B. m=-2
C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

Proste o równaniach: y=2mx-m2-1 oraz y=4m2x+m2+1 są prostopadłe dla:
A. m=-1/2
B. m=1/2
C. m=1
D. m=2
Pokaż rozwiązanie zadania

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A.

B.

C.

D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Pokaż rozwiązanie zadania

Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019 oraz y=(3m−3)x+2019 są równoległe, gdy
A. m=-1
B. m=0
C. m=1
D. m=5
Pokaż rozwiązanie zadania

Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=− 4x+1 i przechodzi
przez punkt P=(1/2,0), gdy
A. a=-4 i b=-2
B. a=1/4 i b=-1/8
C. a=-4 i b=2
D. a=1/4 i b=1/2
Pokaż rozwiązanie zadania