Strona główna » Matematyka » Odcinek • Deltoid • Wzajemne położenie postych na płaszczyźnie

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.

Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu C i D. Zadanie podzielę na kilka etapów.

Etap I - Szukamy współrzędnej punktu D

Zauważamy, że punkt D leży na prostej prostopadłej do prostej m, dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie S pod kątem prostym. Proste m i n są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta m jest opisana równaniem x-y+2=0, czyli y=x+2, to jej współczynnik kierunkowy jest równy 1. Współczynnik kierunkowy prostej n jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli n: y=ax+b, to a=-1 i y=-x+b. Wiemy, że B=(0,8) leży na prostej n, więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:

$y=-x+b\\ B=(0,8)\\0=-1\cdot 0+b\\ b=8\\a=-1\\ y=-x+8$

Punkt S jest jest punktem przecięcia się prostych m i n, czyli współrzędne punktu S są rozwiązaniem układu:

$\begin{cases} y=x+2\\y=-x+8\end{cases}\\ 0=2x-6\\2x=6\\ x=3\\y=3+2\\ y=5\\ S=(3,5)$

Punkt S jest środkiem odcinka BD. Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:

$x_s=\frac{x_B+x_D}{2}\\ 3=\frac{0+x_D}{2}\\ x_D=6 \\ y_s=\frac{y_B+y_D}{2}\\ 5=\frac{8+y_D}{2}\\ y_D=2\\ D=(6,2)$

Etap II - szukamy współrzędnych punktu C.

Niech środek okręgu będzie oznaczony przez O = (o_x,o_y). Wiemy, że O leży na prostej y=x+2, zatem współrzędne punktu O=(o_x,o_x+2).

Ponadto wiemy, że |OA|=|OB|. Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:

$|OA|=|OB|\\|OA|^2=|OB|^2\\ O=(o_x, o_y)\\ (o_x-30)^2+(o_x+2-32)^2=(o_x-0)^2+(o_x+2-8)^2\\ o_x=\frac{49}{3}\\ o_y=o_x+2=\frac{55}{3}\\ O=(\frac{49}{3},\frac{55}{3})$

Teraz już łatwo znajdziemy punkt C, korzystając z tego, że punkt O jest środkiem odcinka AC, a współrzędne A i O są dane:

$o_x=\frac{x_A+x_C}{2}\\ \frac{49}{3}=\frac{30+x_C}{2}\\ \frac{98}{3}=30+x_C\\ x_C=\frac{8}{3} \\ o_y=\frac{y_A+y_C}{2}\\ \frac{55}{3}=\frac{32+y_C}{2}\\ \frac{110}{3}=32+y_C\\ y_C=\frac{14}{3}$