zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.

Zadanie 13 - ilustracja, matura 2016

Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(C\) i \(D\). Zadanie podzielę na kilka etapów.

Etap I — Szukamy współrzędnej punktu \(D\).

Zauważamy, że punkt \(D\) leży na prostej prostopadłej do prostej \(m\), dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie \(S\) pod kątem prostym. Proste \(m\) i \(n\) są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta \(m\) jest opisana równaniem \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), to jej współczynnik kierunkowy jest równy \(1\). Współczynnik kierunkowy prostej \(n\) jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli \(n: y=ax+b\), to \(a=-1\) i \(y=-x+b\). Wiemy, że \(B=(0,8)\) leży na prostej \(n\), więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:

\(y=-x+b\)

\(B=(0,8)\)

\(0=-1\cdot 0+b\)

\(b=8\)

\(a=-1\)

\(y=-x+8\)

Punkt \(S\) jest punktem przecięcia się prostych \(m\) i \(n\), czyli współrzędne punktu \(S\) są rozwiązaniem układu:

\(\begin{cases} y=x+2\\y=-x+8\end{cases}\)

\(0=2x-6\)

\(2x=6\)

\(x=3\)

\(y=3+2\)

\(y=5\)

\(S=(3,5)\)

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:

\(x_s=\frac{x_B+x_D}{2}\)

\(3=\frac{0+x_D}{2}\)

\(x_D=6\)

\(y_s=\frac{y_B+y_D}{2}\)

\(5=\frac{8+y_D}{2}\)

\(y_D=2\)

\(D=(6,2)\)

Etap II — szukamy współrzędnych punktu \(C\).

Niech środek okręgu będzie oznaczony przez \(O=(o_x,o_y)\). Wiemy, że \(O\) leży na prostej \(y=x+2\), zatem współrzędne punktu \(O=(o_x,o_x+2)\).

Ponadto wiemy, że \(|OA|=|OB|\). Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:

\(|OA|=|OB|\)

\(|OA|^2=|OB|^2\)

\(O=(o_x, o_y)\)

\((o_x-30)^2+(o_x+2-32)^2=(o_x-0)^2+(o_x+2-8)^2\)

\(o_x=\frac{49}{3}\)

\(o_y=o_x+2=\frac{55}{3}\)

\(O=(\frac{49}{3},\frac{55}{3})\)

Teraz już łatwo znajdziemy punkt \(C\), korzystając z tego, że punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(AC\), a współrzędne \(A\) i \(O\) są dane:

\(o_x=\frac{x_A+x_C}{2}\)

\(\frac{49}{3}=\frac{30+x_C}{2}\)

\(\frac{98}{3}=30+x_C\)

\(x_C=\frac{8}{3}\)

\(o_y=\frac{y_A+y_C}{2}\)

\(\frac{55}{3}=\frac{32+y_C}{2}\)

\(\frac{110}{3}=32+y_C\)

\(y_C=\frac{14}{3}\)

ksiązki Odpowiedź

\(D=(6,2)\)

\( C=(\frac{8}{3}, \frac{14}{3})\)


© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3284

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:

wysokość w trójkącie ABC w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:

A. \(m=2\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=\frac{1}{3}\)

D. \(m=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. \(m=2\)

B. \(m=-2\)

C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)

D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

A. \(m=-\frac{1}{2}\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=1\)

D. \(m=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy

A. \(a=-4\) i \(b=-2\)

B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

C. \(a=-4\) i \(b=2\)

D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów

Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

A. \(m=1\)

B. \(m=3\)

C. \(m=6\)

D. \(m=9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:

\(k: y=-x+1\)

\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)

\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)

\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)

Wśród tych prostych prostopadłe są

A. proste k oraz l.

B. proste k oraz n.

C. proste l oraz m.

D. proste m oraz n.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 16 — maturalne.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

A. \(a=3, b=4\)

B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)

C. \(a=3, b=-4\)

D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.