Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Punkty \(A=(30,32)\) i \(B=(0,8)\) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta \(ABCD \) wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu \(x-y+2=0\) jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną \(AC\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(C\) i \(D\) tego czworokąta.
Rozwiązanie zadania
Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.
Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(C\) i \(D\). Zadanie podzielę na kilka etapów.
Etap I — Szukamy współrzędnej punktu \(D\).
Zauważamy, że punkt \(D\) leży na prostej prostopadłej do prostej \(m\), dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie \(S\) pod kątem prostym. Proste \(m\) i \(n\) są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta \(m\) jest opisana równaniem \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), to jej współczynnik kierunkowy jest równy \(1\). Współczynnik kierunkowy prostej \(n\) jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli \(n: y=ax+b\), to \(a=-1\) i \(y=-x+b\). Wiemy, że \(B=(0,8)\) leży na prostej \(n\), więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:
\(y=-x+b\)
\(B=(0,8)\)
\(0=-1\cdot 0+b\)
\(b=8\)
\(a=-1\)
\(y=-x+8\)
Punkt \(S\) jest punktem przecięcia się prostych \(m\) i \(n\), czyli współrzędne punktu \(S\) są rozwiązaniem układu:
\(\begin{cases} y=x+2\\y=-x+8\end{cases}\)
\(0=2x-6\)
\(2x=6\)
\(x=3\)
\(y=3+2\)
\(y=5\)
\(S=(3,5)\)
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:
\(x_s=\frac{x_B+x_D}{2}\)
\(3=\frac{0+x_D}{2}\)
\(x_D=6\)
\(y_s=\frac{y_B+y_D}{2}\)
\(5=\frac{8+y_D}{2}\)
\(y_D=2\)
\(D=(6,2)\)
Etap II — szukamy współrzędnych punktu \(C\).
Niech środek okręgu będzie oznaczony przez \(O=(o_x,o_y)\). Wiemy, że \(O\) leży na prostej \(y=x+2\), zatem współrzędne punktu \(O=(o_x,o_x+2)\).
Ponadto wiemy, że \(|OA|=|OB|\). Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:
\(|OA|=|OB|\)
\(|OA|^2=|OB|^2\)
\(O=(o_x, o_y)\)
\((o_x-30)^2+(o_x+2-32)^2=(o_x-0)^2+(o_x+2-8)^2\)
\(o_x=\frac{49}{3}\)
\(o_y=o_x+2=\frac{55}{3}\)
\(O=(\frac{49}{3},\frac{55}{3})\)
Teraz już łatwo znajdziemy punkt \(C\), korzystając z tego, że punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(AC\), a współrzędne \(A\) i \(O\) są dane:
\(o_x=\frac{x_A+x_C}{2}\)
\(\frac{49}{3}=\frac{30+x_C}{2}\)
\(\frac{98}{3}=30+x_C\)
\(x_C=\frac{8}{3}\)
\(o_y=\frac{y_A+y_C}{2}\)
\(\frac{55}{3}=\frac{32+y_C}{2}\)
\(\frac{110}{3}=32+y_C\)
\(y_C=\frac{14}{3}\)
Odpowiedź
\(D=(6,2)\)
\( C=(\frac{8}{3}, \frac{14}{3})\)
© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3284
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Zadanie nr 2.
Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:
Zadanie nr 6 — maturalne.
Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:
A. \(m=2\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{1}{3}\)
D. \(m=-2\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:
A. \(m=2\)
B. \(m=-2\)
C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)
D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)
Zadanie nr 8 — maturalne.
Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:
A. \(m=-\frac{1}{2}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=1\)
D. \(m=2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy
A. \(m=-1\)
B. \(m=0\)
C. \(m=1\)
D. \(m=5\)
Zadanie nr 12 — maturalne.
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy
A. \(a=-4\) i \(b=-2\)
B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C. \(a=-4\) i \(b=2\)
D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy
A. \(m=-\frac{5}{4}\)
B. \(m=\frac{2}{3}\)
C. \(m=\frac{11}{4}\)
D. \(m=\frac{10}{3}\)
Zadanie nr 14 — maturalne.
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów
Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy
A. \(m=1\)
B. \(m=3\)
C. \(m=6\)
D. \(m=9\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:
\(k: y=-x+1\)
\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)
\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)
\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)
Wśród tych prostych prostopadłe są
A. proste k oraz l.
B. proste k oraz n.
C. proste l oraz m.
D. proste m oraz n.
Zadanie nr 16 — maturalne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy
A. \(a=3, b=4\)
B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)
C. \(a=3, b=-4\)
D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)