Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od sporządzenia szkicu do zadania.

Nasza figura jest deltoidem. Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(C\) i \(D\). Zadanie podzielę na kilka etapów.

Etap I — Szukamy współrzędnej punktu \(D\).

Zauważamy, że punkt \(D\) leży na prostej prostopadłej do prostej \(m\), dlatego, że w deltoidzie przekątne przecinają się w punkcie \(S\) pod kątem prostym. Proste \(m\) i \(n\) są prostopadłe, a więc ich współczynniki kierunkowe są w stosunku do siebie odwrotne ze znakiem minus. Jeżeli prosta \(m\) jest opisana równaniem \(x-y+2=0\), czyli \(y=x+2\), to jej współczynnik kierunkowy jest równy \(1\). Współczynnik kierunkowy prostej \(n\) jest odwrotnością ze znakiem minus, czyli jeżeli \(n: y=ax+b\), to \(a=-1\) i \(y=-x+b\). Wiemy, że \(B=(0,8)\) leży na prostej \(n\), więc jego współrzędne spełniają nasze równie prostej:

\(y=-x+b\)

\(B=(0,8)\)

\(0=-1\cdot 0+b\)

\(b=8\)

\(a=-1\)

\(y=-x+8\)

Punkt \(S\) jest punktem przecięcia się prostych \(m\) i \(n\), czyli współrzędne punktu \(S\) są rozwiązaniem układu:

\(\begin{cases} y=x+2\\y=-x+8\end{cases}\)

\(0=2x-6\)

\(2x=6\)

\(x=3\)

\(y=3+2\)

\(y=5\)

\(S=(3,5)\)

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Współrzędne środka odcinka są średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Mamy więc:

\(x_s=\frac{x_B+x_D}{2}\)

\(3=\frac{0+x_D}{2}\)

\(x_D=6\)

\(y_s=\frac{y_B+y_D}{2}\)

\(5=\frac{8+y_D}{2}\)

\(y_D=2\)

\(D=(6,2)\)

Etap II — szukamy współrzędnych punktu \(C\).

Niech środek okręgu będzie oznaczony przez \(O=(o_x,o_y)\). Wiemy, że \(O\) leży na prostej \(y=x+2\), zatem współrzędne punktu \(O=(o_x,o_x+2)\).

Ponadto wiemy, że \(|OA|=|OB|\). Długość odcinka obliczamy przez spierwiastkowanie sumy kwadratów różnicy ich współrzędnych. Jeżeli obie strony podniesiemy do kwadratu, pozbędziemy się pierwiastka i otrzymamy:

\(|OA|=|OB|\)

\(|OA|^2=|OB|^2\)

\(O=(o_x, o_y)\)

\((o_x-30)^2+(o_x+2-32)^2=(o_x-0)^2+(o_x+2-8)^2\)

\(o_x=\frac{49}{3}\)

\(o_y=o_x+2=\frac{55}{3}\)

\(O=(\frac{49}{3},\frac{55}{3})\)

Teraz już łatwo znajdziemy punkt \(C\), korzystając z tego, że punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(AC\), a współrzędne \(A\) i \(O\) są dane:

\(o_x=\frac{x_A+x_C}{2}\)

\(\frac{49}{3}=\frac{30+x_C}{2}\)

\(\frac{98}{3}=30+x_C\)

\(x_C=\frac{8}{3}\)

\(o_y=\frac{y_A+y_C}{2}\)

\(\frac{55}{3}=\frac{32+y_C}{2}\)

\(\frac{110}{3}=32+y_C\)

\(y_C=\frac{14}{3}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2016-11-11, ZAD-3284

Zadania podobne

Dana jest prosta o równaniu \(y=-7x+5\). Znaleźć równanie prostej równoległej do tej prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Dana jest prosta o równaniu \(y=5x+\frac{1}{5}\). Znaleźć równanie prostej prostopadłej do tej prostej, przechodzącej przez punkt \(A(1,-1)\).

Znaleźć równania prostych zawierających boki kwadratu ABCD, jeśli wiadomo, że współrzędne wierzchołków są liczbami całkowitymi.

Znaleźć równania wszystkich prostych prostopadłych przechodzących przez punkty \(A(1,2), B(2,-1), C(-1,3)\).

Znaleźć równanie prostej, która zawiera wysokość w trójkącie \(ABC\) przedstawionym na poniższym rysunku:

Proste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy:

A. \(m=2\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=\frac{1}{3}\)

D. \(m=-2\)

Prosta l o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej k o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem:

A. \(m=2\)

B. \(m=-2\)

C. \(m=-2-2\sqrt{2}\)

D. \(m=-2+2\sqrt{2}\)

Proste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla:

A. \(m=-\frac{1}{2}\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=1\)

D. \(m=2\)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(m=1\)

D. \(m=5\)

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy

A. \(a=-4\) i \(b=-2\)

B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)

C. \(a=-4\) i \(b=2\)

D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)

Proste o równaniach \(y=(m−2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów

Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{(m-3)}{2}+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

A. \(m=1\)

B. \(m=3\)

C. \(m=6\)

D. \(m=9\)

Dane są cztery proste k, l, m o równaniach:

\(k: y=-x+1\)

\(l: y=\frac{2}{3}x+1\)

\(m: y=-\frac{3}{2}x+4\)

\(n: y=-\frac{2}{3}x-1\)

Wśród tych prostych prostopadłe są

A. proste k oraz l.

B. proste k oraz n.

C. proste l oraz m.

D. proste m oraz n.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

A. \(a=3, b=4\)

B. \(a=-\frac{1}{3}, b=4\)

C. \(a=3, b=-4\)

D. \(a=-\frac{1}{3}, b=6\)