Logo Serwisu Media Nauka

Odcinek

odcinek

Definicja Definicja

Odcinek \overline{AB} jest to zbiór punktów leżących na prostej między punktami A i B wraz z punktami A i B.

Punkty A i B nazywamy końcami odcinka.

Jeżeli punkty A=B to odcinek \overline{AB} nazywamy zerowym.

Twierdzenie Twierdzenie

X\in \overline{AB}\Leftrightarrow |AX|+|XB|=|AB|

Powyższe zdanie logiczne możemy przeczytać następująco: punkt X należy do odcinka \overline{AB} wtedy i tylko wtedy, gdy suma odległości między punktami A, X oraz X, B jest równa odległości między punktami A i B.

Odległość |AB| będziemy nazywać długością odcinka. Zatem długość odcinka jest to odległość między jego końcami. Długość odcinka zerowego jest równa 0.

Odcinki nazywamy równymi, jeżeli mają taką samą długość.

Często zdarza się, że odcinki oznaczamy jedną literą. Stosujemy wówczas małe litery, np. \overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}. W takim przypadku długość odcinka oznaczamy odpowiednio: |a|, |b|, |c| lub po postu a, b, c.

Twierdzenie Aksjomat

Na każdej półprostej leży dokładnie jeden punkt, którego odległość od początku tej półprostej równa się danej liczbie nieujemnej.

odkładanie odcinka

Tłumacząc to sformułowanie można powiedzieć, że na każdej półprostej można odłożyć odcinek równy danemu odcinkowi, albo inaczej: istnieją odcinki o dowolnej długości.

Co to znaczy odłożyć odcinek na prostej lub półprostej od punktu O? To znaczy wyznaczyć na tej prostej taki punkt X, którego odległość od punktu O jest równa długości tego odcinka. Odkładanie odcinka zostało zilustrowane rysunkiem obok.

Poniżej przedstawiono przykład konstrukcji odcinka:

zadanie Zadanie

Skonstruuj odcinek o długości 1,5, jeśli |PQ|=1.

Odpowiedź jest zilustrowana filmem:


Długość odcinka w układzie współrzędnych

długość odcinka w układzie współrzędnych

Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B) i obliczamy ją ze wzoru:

d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Wzór wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Przykład Przykład

Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć długość odcinka \overline{AB}.

Korzystamy z powyższego wzoru:

|AB|=\sqrt{(-1-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

Środek odcinka

długość odcinka w układzie współrzędnych

Jeżeli końce odcinka \overline{AB} mają współrzędne: A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B), to współrzędne środka odcinka i obliczamy ją ze wzoru:

x_s=\frac{x_A+x_B}{2},\quad{}y_s=\frac{y_A+y_B}{2}

Przykład Przykład

Dane są punkty: A=(1,2), B=(-1,4). Obliczyć współrzędne środka odcinka \overline{AB}.

Korzystamy z powyższego wzoru:

x_S=\frac{1-1}{2}=0,\quad{}y_S=\frac{2+4}{2}=3\\S=(0,3)

© medianauka.pl, 2010-10-19, ART-982





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - długość odcinka
Dane są punkty A=(-3,-2), B=(2, -2). Obliczyć długość odcinka wzór

zadanie-ikonka Zadanie - Długość odcinka
Dany jest punkt A=(1,4). Znaleźć taki punkt B, że |\overline{AB}|=1 i który leży na prostej x=\frac{1}{2}

zadanie-ikonka Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

zadanie-ikonka Zadanie - środek odcinka
Dany jest odcinek o końcach A=(2+\sqrt{2}, 2), \ B=(-4+\sqrt{2}, -4). Znaleźć współrzędne środka odcinka \overline{AB}

zadanie-ikonka Zadanie - środek odcinka
Znaleźć środek kwadratu wyznaczonego przez punkty A=(0,0), \ B=(1,2),\ C=(3,1),\ D=(2,-1)

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 21, matura 2016 (poziom podstawowy)
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a,6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3,4). Wynika stąd, że:

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 13, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Punkty A=(30,32) i B =(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A = (- 2,0) i B = (2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Zadanie 16, ilustracja, matura 2016
Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

zadanie-ikonka Zadanie - symetralna odcinka
Znaleźć równanie symetralnej odcinka \overline{AB}, gdzie A=(1,4), \ B=(-2, 1)

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 5, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa

A. \frac{\sqrt{5}}{5}
B. \frac{4\sqrt{5}}{5}
C. \frac{4}{5}
D. 4




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.