Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Podział odcinka

Twierdzenie Twierdzenie

Każdy odcinek można podzielić na dowolną liczbę równych części z użyciem cyrkla i liniału.

Sposób postępowania ilustruje poniższa animacja.

Animacja

Animacja


Podział odcinka

Podział odcinka - ujęcie analityczne

Dany jest odcinek \overline{AB} i dowolny punkt P, który dzieli ten odcinek w pewnym stosunku. Używając zapisu wektorowego zapiszemy to następująco: \vec{AP}=t\vec{AB}, \ 0\leq t<1. Jeżeli współrzędne punktów oznaczymy następująco: A=(x_A,y_B), B=(x_B,y_B), P=(x,y), to otrzymujemy:

x-x_A=t(x_B-x_A)\\ y-y_A=t(y_B-y_A)\\ 0\leq t<1

Jest to tak zwane równanie parametryczne odcinka.

Środek odcinka

Teoria Aby wyznaczyć współrzędne środka S=(x,y) odcinka, skorzystamy z powyższego wzoru:

\vec{AS}=\frac{1}{2}\vec{AB}

Mamy tutaj t=\frac{1}{2}. Równanie odcinka przyjmuje postać:

x-x_A=\frac{1}{2}(x_B-x_A),\ \ \  y-y_A=\frac{1}{2}(y_B-y_A)\\ x=\frac{1}{2}x_B-\frac{1}{2}x_A+x_A,\ \ \  y=\frac{1}{2}y_B-\frac{1}{2}y_A+y_A\\ x=\frac{1}{2}x_B+\frac{1}{2}x_A,\ \ \  y=\frac{1}{2}y_B+\frac{1}{2}y_A

W ten sposób otrzymujemy współrzędne środka odcinka:

x=\frac{x_A+x_B}{2}, \ \ \ y=\frac{y_A+y_B}{2}

Przykład Przykład

Dane są punkty A=(1,3) i B=(3,7). Wyznaczyć współrzędne środka odcinka.

Korzystamy z powyższego wzoru:

x=\frac{1+3}{2}=2, \ \ \ y=\frac{3+7}{2}=5

Złoty podział odcinka

Teoria Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka. Większa część odcinka jest nazywana złotą częścią.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

złoty podział odcinka

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

a:b=(a+b):a

Mamy więc:

\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\\ \frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}

Oznaczmy stosunek a:b przez grecką literę \varphi. Otrzymujemy równanie:

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\\ \frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\\ \varphi^2-\varphi-1=0\\ \Delta=5\\ \varphi_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\\ \varphi_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618033989

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą.

Przykład Przykład

Bok dziesięciokąta foremnego jest złotą częścią ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.

ciekawostki Ciekawostki

ilustracja

Złoty podział wykorzystuje się czasem w kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.


© medianauka.pl, 2010-12-03, ART-1037







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Podział odcinka

zadanie-ikonka Zadanie - twierdzenie Talesa, podział odcinka
Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - środek odcinka
Punkty A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1) wyznaczają odcinek \overline{AB}. Znaleźć jego środek.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - złoty podział odcinka
Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Figura geometrycznaFigura geometryczna
Figura geometryczna jest to dowolny zbiór punktów. Zbiór wszystkich punktów nazywamy przestrzenią.
WielokątWielokąt
Wielokąt jest to figura geometryczna, która jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną.
Twierdzenie TalesaTwierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa - omówienie, przykłady, zadania, twierdzenie odwrotne.



© Media Nauka 2008-2018 r.