Nauka » Matematyka » Podział odcinka

Zadanie - złoty podział odcinka

Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a\approx 10/1.618\approx 6,18\\ b=10-a\approx 3,82$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\\ \frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}$

Jeżeli nie pamiętamy wartości złotego podziału, można wykonać następujące rachunki. Oznaczmy stosunek a:b przez grecką literę $\varphi$ . Otrzymujemy równanie:

$\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\\ \frac{\varphi^2}{\varphi}-\frac{\varphi}{\varphi}-\frac{1}{\varphi}=0 \\ \frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\\ \varphi^2-\varphi-1=0\\ a=1\\ b=-1\\ c=-1\\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5\\ \varphi_1==\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\\ \varphi_2==\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą, która dzieli odcinek na dwa odcinki będące ze sobą w złotym podziale.

Nasz odcinek ma długość 10. Aby znaleźć jego złoty podział, wystarczy podzielić go przez liczbę $\varphi$

$a=10/\varphi\approx 10/1.618\approx 6,18\\ b=10-a\approx 3,82$

Odpowiedź

$a\approx 6,18, \ b\approx 3,82$

Zadania podobne

Zadanie - twierdzenie Talesa, podział odcinka
Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - środek odcinka
Punkty $A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1)$ wyznaczają odcinek $\overline{AB}$ . Znaleźć jego środek.

Pokaż rozwiązanie zadania

Polecamy w naszym sklepie

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.