Zadanie - złoty podział odcinka


Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

a\approx 10/1.618\approx 6,18\\ b=10-a\approx 3,82

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Złoty podział odcinka

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\\ \frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}

Jeżeli nie pamiętamy wartości złotego podziału, można wykonać następujące rachunki. Oznaczmy stosunek a:b przez grecką literę \varphi. Otrzymujemy równanie:

\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\\ \frac{\varphi^2}{\varphi}-\frac{\varphi}{\varphi}-\frac{1}{\varphi}=0 \\ \frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\\ \varphi^2-\varphi-1=0\\ a=1\\ b=-1\\ c=-1\\ \Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5\\ \varphi_1==\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\\ \varphi_2==\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą, która dzieli odcinek na dwa odcinki będące ze sobą w złotym podziale.

Nasz odcinek ma długość 10. Aby znaleźć jego złoty podział, wystarczy podzielić go przez liczbę \varphi

a=10/\varphi\approx 10/1.618\approx 6,18\\ b=10-a\approx 3,82

ksiązki Odpowiedź

a\approx 6,18, \ b\approx 3,82

© medianauka.pl, 2011-01-08, ZAD-1085


Zadania podobne

kulkaZadanie - twierdzenie Talesa, podział odcinka
Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - środek odcinka
Punkty A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1) wyznaczają odcinek \overline{AB}. Znaleźć jego środek.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.