Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

Jeżeli dwie proste a₁ i a₂ przecinające się w punkcie O zostaną przecięte dwiema prostymi k i l, które nie przechodzą przez punkt O i są równoległe, to odcinki wyznaczone przez punkt O i proste k i l na prostej a₁ są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez punkt O i proste k i l na prostej a₂.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli dwie proste a₁ i a₂ przecinające się w punkcie O zostaną przecięte dwiema prostymi k i l, które nie przechodzą przez punkt O i odcinki wyznaczone przez punkt O i proste k i l na prostej a₁ są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez punkt O i proste k i l na prostej a₂ i jeśli punkt O leży na obu odcinkach $\overline{AB}, \ \overline{A'B'}$ albo nie leży na żadnym z nich, to proste k i l są równoległe.

Rozszerzone twierdzenie Talesa

Rzutując punkty podziału odcinków $\overline{OA}, \ \overline{OB}$ w kierunku prostej a₂ zauważamy, że z równoległości prostych k, l wynika proporcja:

Wnioski z twierdzenia Talesa

Twierdzenie

Prosta równoległa do jednego boku trójkąta i przecinająca pozostałe boki tego trójkąta odcina z tego trójkąta trójkąt o bokach proporcjonalnych do boków danego trójkąta.

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

Twierdzenie

W trójkącie dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków przyległych.

$\frac{OB}{OC}=\frac{AB}{AC}$

Ciekawostki

Twierdzenie tutaj prezentowane sformułował Tales z Miletu, który żył w latach około 620-540 p.n.e. Tales był greckim filozofem i matematykiem, twórcą jońskiej filozofii przyrody, w której woda była uważana za prapierwiastek rzeczywistości.

Twierdzenie Talesa to jedno z najwcześniejszych i najważniejszych twierdzeń geometrii płaszczyzny. Powstało około V w. p.n.e.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Podstawy trapezu mają długości 5 i 9, a ramiona 5 i $\sqrt{41}$ . Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Prosta równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie D oraz bok BC w punkcie E. Obliczyć:
a) |AC|, jeżeli |CD|=32, |CE|=24, |BC|=48
b) |CD|, jeżeli |CE|=6, |BE|=10, |AC|=24

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dane są odcinki o długościach: a, b, c. Opisać sposób konstrukcji odcinka d o długości:
a) $d=\frac{ab}{c}$
b) $d=\frac{b^2}{a}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC| = |LC| = 2 (zobacz rysunek).

Rysunek

Wykaż, że |AM|/|MC|=4/5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Figura geometryczna

Figura geometryczna jest to dowolny zbiór punktów. Zbiór wszystkich punktów nazywamy przestrzenią.

Podział odcinka

Ilustracja podziału odcinka na równe części. W artykule omówiono także złoty podział odcinka oraz wzory analityczne z tym związane.

Wielokąt

Wielokąt jest to figura geometryczna, która jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną.