Zadanie maturalne nr 7, matura 2020 - poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC| = |LC| = 2 (zobacz rysunek).
Wykaż, że |AM|/|MC|=4/5
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że odcinek KL jest równoległy do odcinka AB.
|CP| = x.
Trójkąty CKP i CAD są podobne (jest spełniona cecha kąt-kąt-kąt). Skala podobieństwa wynosi w skali 2:6 = 1:3. Zatem |PD| = 2x i |MD| = 2x.
Trójkąty CPK i CMD są również trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt). Na tej podstawie mamy:
\(\frac{|PK|}{|CK|}=\frac{|MD|}{|CD|}\)
\(\frac{|PK|}{2}=\frac{2x}{3x}\)
\(\frac{|PK|}{2}=\frac{2}{3}/cdot 2\)
\(|PK|=\frac{4}{3}\)
Trójkąty PCK i ADM są podobne (cecha kkk), stąd:
\(\frac{|AM|}{|MD|}=\frac{|PK|}{|CP|}\)
\(\frac{|AM|}{2x}=\frac{\frac{4}{3}}{x}\)
Zaś \(|AM|=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Ostatecznie:
\(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}\)
To kończy dowód.
© medianauka.pl, 2023-03-10, ZAD-4777
Zadania podobne
Zadanie - twierdzenie TalesaPodstawy trapezu mają długości 5 i 9, a ramiona 5 i
. Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - twierdzenie TalseaProsta równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie D oraz bok BC w punkcie E. Obliczyć:
a) |AC|, jeżeli |CD|=32, |CE|=24, |BC|=48
b) |CD|, jeżeli |CE|=6, |BE|=10, |AC|=24
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - twierdzenie Talesa, podział odcinkaOdcinek o długości a podzielić na dwa odcinki w stosunku 3/5.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - zastosowanie twierdzenia TalesaDane są odcinki o długościach: a, b, c. Opisać sposób konstrukcji odcinka d o długości:
a)
b)
Pokaż rozwiązanie zadania