Planimetria

Teoria Planimetria jest działem geometrii (słowo "geometria" pochodzi od słów greckich: ge - ziemia i metreo - mierzę), która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje się do każdej innej płaszczyzny. Planimetria bada własności figur geometrycznych płaskich.

Przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna

Teoria Zbiór wszystkich punktów to przestrzeń. Oznaczamy ją grecką literą omega - Ω.

Punkt, prosta, płaszczyzna są pojęciami podstawowymi, których się nie definiuje, a ich własności wynikają z aksjomatów (pewników, twierdzeń podstawowych, których się nie dowodzi).

Figura płaska jest to dowolny zbiór punktów zawartych w płaszczyźnie.

TwierdzenieAksjomat o przynależności punktów do prostej.

pęk prostych
  • Na każdej prostej leży nieskończenie wiele punktów.
  • Przez każdy punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Definicja Definicja

Pęk prostych jest to rodzina prostych przechodzących przez jeden punkt, nazywanym wierzchołkiem pęku.

Ilustracja obok przedstawia pęk prostych a, b, c, d, e, f, g o wierzchołku A.

Twierdzenie Aksjomat o dwóch punktach i prostej.

Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.

Teoria Prostą wyznaczoną przez punkty A i B oznaczamy przez AB

Z powyższych dwóch aksjomatów wynika wzajemne położenie prostych. Możliwe są tutaj trzy przypadki: dwie proste nie mają punktu wspólnego, mają jeden punkt wspólny lub są identyczne (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych).

Definicja Definicja

Proste a i brównoległe jeżeli nie mają punktu wspólnego. Używamy wówczas zapisu: a||b.

proste równoległe

Proste a i b przecinają się jeżeli mają jeden punkt wspólny. Możemy to zapisać następująco: ab={A}
(częścią wspólną prostej a i b jest punkt A).

proste przecinające się

Proste a i b pokrywają się jeżeli są identyczne, czyli: a=b.
Proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Możemy też powiedzieć, że prosta jest równoległa sama do siebie.

proste pokrywające się

TwierdzenieAksjomat Euklidesa

Przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej.

Animacja

Animacja
Poniższa animacja jest ilustracją aksjomatu Euklidesa



Definicja Definicja

Kierunek prostej jest to rodzina wszystkich prostych równoległych do danej prostej.

Uporządkowanie punktów na prostej

Twierdzenie Aksjomat

Uporządkowanie punktów na prostej

Na prostej istnieją dokładnie dwa uporządkowania takie, że dla dowolnych punktów A, B, C należącej do tej prostej zachodzą warunki:

  • jeżeli A poprzedza B przy jednym uporządkowaniu, to B poprzedza A przy drugim uporządkowaniu,
  • jeżeli B leży między A i C, to |AB|+|BC|=|AC|,
  • jeżeli |AB|+|BC|=|AC| i punkty A, B, C są różne, to B leży między A i C.

Definicja Definicja

Każde uporządkowanie prostej nazywamy zwrotem prostej.


Teoria Prosta ma dwa naturalne uporządkowana: jedno, w którym A poprzedza B i przeciwne do niego, w którym B poprzedza A.

Współliniowość punktów - prawo trójkąta

Definicja Definicja

Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.

Twierdzenie Warunek konieczny i wystarczający niewspółliniowowści

Punkty A, B i C nie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ||AB|-|BC||<|AC|<|AB|+|BC|.

Twierdzenie Warunek konieczny i wystarczający współliniowowści

Punkty A, B i C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy |AC|=|AB|+|BC| lub |AC|=||AB|-|BC||.

Gdy połączymy oba powyższe twierdzenie otrzymamy:

Twierdzenie Prawo trójkąta

Dla dowolnych punktów A, B i C zawsze zachodzi nierówność:

||AB|-|BC||\leq{}|AC|\leq{}|AB|+|BC|

Równość zachodzi w przypadku, gdy punkty są współliniowe.

Pytania

Gdzie znajdę wzory z planimetrii?

Aby znaleźć odpowiednie wzory z planimetrii przejdź do naszego działu geometria i wybierz odpowiedni rodzaj figur płaskich (na przykład trójkąty, okrąg itp.)



© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-973


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Planimetria

zadanie-ikonka Zadanie - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie
Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzajemne położenie prostych
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - współliniowość punktów
Sprawdzić, czy punkty A, B, C są współliniowe (kolinearne), jeżeli
a) |AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5
b) |AB|=4+2\sqrt{3}, |BC|=2+\sqrt{3} ,|AC|=3\sqrt{3}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - prawo trójkąta
Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - punkty współliniowe
Punkty A, B, C są współliniowe i |AB|=7, |BC|=6. Jaką liczbą jest |AC|?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - nierówność trójkąta
Dane są odcinki o długościach |AB|=5, |BC|=8. Jaką długość powinien mieć odcinek \overline{AC}, aby można było zbudować trójkąt ABC?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Odległość punktówOdległość punktów
Każdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów. Oznaczamy ją następująco: |AB| lub |BA|.
PółprostaPółprosta
Zbiór punktów należących do prostej, które leżą po jednej stronie punktu A wraz z tym punktem nazywamy półprostą, a punkt A nazywamy początkiem półprostej.
OdcinekOdcinek
Odcinek \overline{AB} jest to zbiór punktów leżących na prostej między punktami A i B wraz z punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka
ŁamanaŁamana
Tworzymy łańcuch odcinków, łącząc każde dwa kolejne punkty tego ciągu odcinkami. Łamana jest to figura utworzona z tak skonstruowanych odcinków...



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.