Przestrzeń, punkt, prosta

Planimetria

Planimetria jest działem geometrii (słowo "geometria" pochodzi od słów greckich: ge - ziemia i metreo - mierzę), która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje się do każdej innej płaszczyzny.

Podstawowe pojęcia - przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna

Zbiór wszystkich punktów to przestrzeń. Oznaczamy ją grecką literą omega - $Omega$ .

Punkt, prosta, płaszczyzna są pojęciami podstawowymi, których się nie definiuje, a ich własności wynikają z aksjomatów (pewników, twierdzeń podstawowych, których się nie dowodzi).

Figura płaska jest to dowolny zbiór punktów zawartych w płaszczyźnie.

Aksjomat (o przynależności punktów do prostej)

Na każdej prostej leży nieskończenie wiele punktów.
Przez każdy punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Definicja

Pęk prostych jest to rodzina prostych przechodzących przez jeden punkt, nazywanym wierzchołkiem pęku.

Ilustracja obok przedstawia pęk prostych a, b, c, d, e, f, g o wierzchołku A.

Aksjomat (o dwóch punktach i prostej)
Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.

Prostą wyznaczoną przez punkty A i B oznaczamy przez AB

Z powyższych dwóch aksjomatów wynika wzajemne położenie prostych. Możliwe są tutaj trzy przypadki: dwie proste nie mają punktu wspólnego, mają jeden punkt wspólny lub są identyczne (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych).

Definicja

Proste a i b są równoległe jeżeli nie mają punktu wspólnego. Używamy wówczas zapisu: a||b.

Proste a i b przecinają się jeżeli mają jeden punkt wspólny. Możemy to zapisać następująco: a∩b={A}
(częścią wspólną prostej a i b jest punkt A).

Proste a i b pokrywają się jeżeli są identyczne, czyli: a=b.
Proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Możemy też powiedzieć, że prosta jest równoległa sama do siebie.