Planimetria
Planimetria jest działem geometrii (słowo "geometria" pochodzi od słów greckich: ge - ziemia i metreo - mierzę), która zajmuje się własnościami płaszczyzny i jej podzbiorów. Planimetria jest więc geometrią płaszczyzny. Planimetria zbudowana na jednej płaszczyźnie stosuje się do każdej innej płaszczyzny. Planimetria bada własności figur geometrycznych płaskich.
Przestrzeń, punkt, prosta, płaszczyzna
Zbiór wszystkich punktów to przestrzeń. Oznaczamy ją grecką literą omega - Ω.
Punkt, prosta, płaszczyzna są pojęciami podstawowymi, których się nie definiuje, a ich własności wynikają z aksjomatów (pewników, twierdzeń podstawowych, których się nie dowodzi).
Figura płaska jest to dowolny zbiór punktów zawartych w płaszczyźnie.
Aksjomat o przynależności punktów do prostej.
- Na każdej prostej leży nieskończenie wiele punktów.
- Przez każdy punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.
Definicja
Pęk prostych jest to rodzina prostych przechodzących przez jeden punkt, nazywanym wierzchołkiem pęku.
Ilustracja obok przedstawia pęk prostych a, b, c, d, e, f, g o wierzchołku A.
Aksjomat o dwóch punktach i prostej.
Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
Prostą wyznaczoną przez punkty A i B oznaczamy przez AB
Z powyższych dwóch aksjomatów wynika wzajemne położenie prostych. Możliwe są tutaj trzy przypadki: dwie proste nie mają punktu wspólnego, mają jeden punkt wspólny lub są identyczne (mają nieskończenie wiele punktów wspólnych).
Definicja
Proste a i b są równoległe jeżeli nie mają punktu wspólnego. Używamy wówczas zapisu: a||b.
Proste a i b przecinają się jeżeli mają jeden punkt wspólny. Możemy to zapisać następująco: a∩b={A}
(częścią wspólną prostej a i b jest punkt A).
Proste a i b pokrywają się jeżeli są identyczne, czyli: a=b.
Proste te mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. Możemy też powiedzieć, że prosta jest równoległa sama do siebie.
Aksjomat Euklidesa
Przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej.
Animacja
Poniższa animacja jest ilustracją aksjomatu Euklidesa
Definicja
Kierunek prostej jest to rodzina wszystkich prostych równoległych do danej prostej.
Uporządkowanie punktów na prostej
Aksjomat
Uporządkowanie punktów na prostej
Na prostej istnieją dokładnie dwa uporządkowania takie, że dla dowolnych punktów A, B, C należącej do tej prostej zachodzą warunki:
- jeżeli A poprzedza B przy jednym uporządkowaniu, to B poprzedza A przy drugim uporządkowaniu,
- jeżeli B leży między A i C, to |AB|+|BC|=|AC|,
- jeżeli |AB|+|BC|=|AC| i punkty A, B, C są różne, to B leży między A i C.
Definicja
Każde uporządkowanie prostej nazywamy zwrotem prostej.
Prosta ma dwa naturalne uporządkowana: jedno, w którym A poprzedza B i przeciwne do niego, w którym B poprzedza A.
Współliniowość punktów - prawo trójkąta
Definicja
Punkty są współliniowe (kolinearne) jeżeli należą do jednej prostej.
Warunek konieczny i wystarczający niewspółliniowowści
Punkty A, B i C nie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ||AB|-|BC||<|AC|<|AB|+|BC|.
Warunek konieczny i wystarczający współliniowowści
Punkty A, B i C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy |AC|=|AB|+|BC| lub |AC|=||AB|-|BC||.
Gdy połączymy oba powyższe twierdzenie otrzymamy:
Prawo trójkąta
Dla dowolnych punktów A, B i C zawsze zachodzi nierówność:
Równość zachodzi w przypadku, gdy punkty są współliniowe.
Pytania
Gdzie znajdę wzory z planimetrii?
Aby znaleźć odpowiednie wzory z planimetrii przejdź do naszego działu geometria i wybierz odpowiedni rodzaj figur płaskich (na przykład trójkąty, okrąg itp.)
© medianauka.pl, 2010-10-10, ART-973
Zadania z rozwiązaniami
Zadania związane z tematem:
Planimetria
Zadanie - Ile różnych prostych wyznaczają cztery punkty na płaszczyźnie
Ile różnych prostych wyznaczają cztery różne punkty na płaszczyźnie?
Zadanie - wzajemne położenie prostych
Ile różnych prostych wyznacza n różnych punktów na płaszczyźnie, jeżeli żadne z trzech punktów nie są współliniowe?
Zadanie - współliniowość punktów
Sprawdzić, czy punkty A, B, C są współliniowe (kolinearne), jeżeli
a) |AB|=7, |BC|=5,5 ,|AC|=1,5
b) 
Zadanie - prawo trójkąta
Zbadać, czy z odcinków o długości 5,3 i 1 można zbudować trójkąt.
Zadanie - punkty współliniowe
Punkty A, B, C są współliniowe i |AB|=7, |BC|=6. Jaką liczbą jest |AC|?
Zadanie - nierówność trójkąta
Dane są odcinki o długościach |AB|=5, |BC|=8. Jaką długość powinien mieć odcinek 
, aby można było zbudować trójkąt ABC?
Zadanie maturalne nr 18, matura 2016 (poziom podstawowy)
Z odcinków o długościach: 5, 2a+1, a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2
Inne zagadnienia z tej lekcji
Odległość punktówKażdym dwóm punktom A i B można przyporządkować liczbę, którą nazywamy odległością punktów. Oznaczamy ją następująco: |AB| lub |BA|.
PółprostaZbiór punktów należących do prostej, które leżą po jednej stronie punktu A wraz z tym punktem nazywamy półprostą, a punkt A nazywamy początkiem półprostej.
OdcinekOdcinek \overline{AB} jest to zbiór punktów leżących na prostej między punktami A i B wraz z punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka
ŁamanaTworzymy łańcuch odcinków, łącząc każde dwa kolejne punkty tego ciągu odcinkami. Łamana jest to figura utworzona z tak skonstruowanych odcinków...
Test wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.
