Proste prostopadłe

Co to jest prosta prostopadła?

Definicja

Prostą a nazywamy prostopadłą do prostej b, jeżeli prosta b jest osią symetrii prostej a i jest od niej różna.

Proste prostopadłe oznaczamy następującym symbolem: $a\perp b$ .

Konstrukcja prostej prostopadłej

Pokażemy dwa sposoby konstrukcji prostej prostopadłej.

Konstrukcja 1

Poniższy film pokazuje sposób konstrukcji prostej prostopadłej do prostej a, przechodzącej przez punkt X, który leży poza prostą a.

Konstrukcja 2

Poniższy film pokazuje sposób konstrukcji prostej prostopadłej do prostej a, przechodzącej przez punkt X, który leży na prostej a.

Twierdzenia o prostych prostopadłych

Twierdzenie

Dwie proste prostopadłe do trzeciej prostej są równoległe.

Twierdzenie

Jeżeli z dwóch prostych równoległych jedna jest prostopadła do trzeciej prostej, to i ta druga prosta jest prostopadła do tej trzeciej prostej.

Twierdzenie

Jeżeli dwie proste przecinają się, to proste prostopadłe do tych prostych również się przecinają.

Twierdzenie

Jeśli jedna z dwóch prostych jest prostopadła do trzeciej prostej, a druga nie jest prostopadła do tej trzeciej prostej, to te dwie proste nie są równoległe.

Badanie czy proste są prostopadłe na podstawie danych równań prostych zostało omówione w artykule Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie.

Równanie prostej prostopadłej

Dwie proste na płaszczyźnie są prostopadłe jeżeli współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotnością drugiego współczynnika kierunkowego ze znakiem minus, czyli $a_1=-\frac{1}{a_2}$ .

proste prostopadłe

Przykład

Dwie proste y=2x-1 i y=-½x są względem siebie prostopadłe, ponieważ a₁=2, a₂=-½ i a₁=-1/a₂.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Proste prostopadłe

Zadanie maturalne nr 20, matura 2016 (poziom podstawowy)
Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

A. m=2
B. m=1/2
C. m=1/3
D. m=-2