Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Pole figury

Teoria Pole figury płaskiej jest to funkcja, która każdej figurze geometrycznej płaskiej przyporządkowuje liczbę nieujemną w taki sposób, że spełnione są warunki:

  • pola figur przystających są równe,
  • jeżeli figury nie mają punktów wspólnych, to pole figury stanowiących ich sumę jest sumą pól figur składowych.

Nie dla każdej figury pole musi istnieć.

Teoria Pole figury wyrażamy w jednostkach pola. Za jednostkę pola będziemy przyjmować pole kwadratu o boku długości równej przyjętej jednostce długości. Jeżeli \overline{u} jest jednostkową długością, to \overline{u}^2 stanowi jednostkę pola. Czyli jeżeli za jednostkę długości przyjmiemy liczbę 1 cm, to pole kwadratu o boku długości 1 cm będzie jednostką pola figury o oznaczymy ją jako 1cm2.

Powyższe określenie dotyczy ogólnego pojęcia pola figury. Przejdziemy teraz do miary polowej figury płaskiej (pola figury płaskiej)

Teoria Dana jest ograniczona figura płaska f. Nakładamy na nią sieć kwadratów o odstępie \overline{u} i wyznaczamy:

  • liczbę w0 kwadratów tej sieci zawartych w tej figurze,
  • liczbę z0 kwadratów pokrywających tę figurę (mających co najmniej jeden punkt wewnętrzny lub brzegowy tej figury).

Liczby te nazywamy przybliżeniem dolnym i przybliżeniem górnym pola figury.

Ilustruje to poniższy rysunek:

Pole figury 1

Mamy tutaj więc w0=3 (żółte pola) i z0=19 (pola otoczone czerwoną linią). Zatem zawsze w0<z0. Dolnym przybliżeniem pola jest liczba 3, natomiast górnym przybliżeniem pola jest liczba 19. Można powiedzieć, że pole naszej figury jest liczbą z przedziału od 3 do 19. To dość kiepskie przybliżenie. Teraz na naszą sieć wyjściową nałożymy sieć o mniejszym odstępie (każdy kwadrat sieci podzielimy na cztery części).

Pole figury 2

Teraz wyznaczamy liczbę w1, która wyraża w tych samych jednostkach \overline{u}^2 łączne pole kwadratów sieci zawartych w danej figurze (żółte pola) oraz liczbę z1, która wyraża w tych samych jednostkach \overline{u}^2 łączne pole kwadratów sieci pokrywających figurę (kwadraty zaznaczone czerwoną obwódką). Czyli w naszym przypadku mamy 26 żółtych kwadratów, co daje liczbę w1=6,5 (26 małych kwadratów składa się na pole 6,5 większych kwadratów). Liczba z1=14 (56 małych kwadratów daje 14 pola dużego - jednostkowego kwadratu). Mamy więc kolejne przybliżenie pola. Teraz możemy powiedzieć, że pole naszej figury jest liczbą z przedziału od 6,5 do 14. Możemy też zapisać, że w_0\leq w_1 < z_1\leq z_0

W ten sposób możemy nakładać kolejne siatki na figurę otrzymując ciągi liczb w_0\leq w_1 \leq w_2\leq ... \leq w_n< z_n\leq ... \leq z_1\leq z_0. Ciągi te są monotoniczne i ograniczone, więc są zbieżne (posiadają granice):

\lim{w_n}=w(f)\\ \lim{z_n}=z(f)

Liczby te nazywamy następująco:
w(f) - wewnętrzna miara pola figury f,
z(f) - zewnętrzna miara pola figury f,
przy czym w(f)\leq z(f)

Teoria Polem figury f (miarą polową figury f) nazywamy liczbę m(f)=lim wn=lim zn, czyli mamy przypadek w(f)=z(f)

Własności pola

Teoria Oto kilka istotnych własności pola:

  • pole figury nie zależy od sieci wyjściowej,
  • każda figura zawarta w odcinku ma pole równe 0,
  • każda łamana ma pole 0,
  • każdy łuk okręgu ma pole 0,
  • jeśli brzeg figury ma pole 0, to figura f ma pole m(f),
  • każda figura ograniczona , której brzeg składa się ze skończonej liczby odcinków lub łuków ma pole,
  • pole wielokąta można obliczyć dzieląc go na trójkąty i dodając do siebie pola tych trójkątów.

Pola figur takich jak koło, trójkąt, kwadrat, prostokąt, trapez, romb, równoległobok zostały przedstawione w lekcjach poświęconych tym figurom.


© medianauka.pl, 2010-12-08, ART-1044






Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.