Pole i obwód elipsy

Mówiąc o polu powierzchni elipsy mamy na myśli figurę geometryczną ograniczoną poprzez krzywą, która jest elipsą.

Pole elipsy

Twierdzenie

Pole powierzchni elipsy wyraża się wzorem:

$P=\pi ab$

gdzie a oraz b są półosiami elipsy.

Pole elipsy - kalkulator
Podaj długość dwóch półosi elipsy, a nasz kalkulator obliczy pole powierzchni elipsy.

Wpisz dane:

Pierwsza półoś elipsy:

Druga półoś elipsy:

Rozwiązanie:

Objaśnienia:

Jeżeli wynik wskaże wartość "infinity" to oznacza, że jest poza zakresem dostępnym dla niniejszego kalkulatora.
Zapis wyniku 1.2e+12 oznacza liczbę 1.2 pomnożoną przez 10¹².
Gdy jedna z liczb będąca wynikiem działań jest większa od jej reprezentacji 64-bitowej, kalkulator stosuje przybliżenia wyniku.
Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Obwód elipsy

Obwód elipsy nie da się przedstawić w postaci algebraicznej. Stosujemy wzory przybliżone lub następujący wzór:

Twierdzenie

Obwód elipsy wyraża się wzorem:

$L=4aE(\varepsilon)=2\pi a[1-(\frac{1}{2})^2\varepsilon ^2-(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^4}{3}-(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^6}{5}-...]$

gdzie a jest wielką półosią elipsy, ε - mimośród elipsy, natomiast E(ε) jest pełną całką eliptyczną drugiego rodzaju (całka eliptyczna jest pojęciem z zakresu studiów wyższych dlatego warto zapoznać się z wzorem przybliżonym).

W literaturze można również znaleźć wiele wzorów przybliżonych. Oto jeden z nich:

$L=\pi[\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}]$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest okrąg o równaniu

. Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu $6\pi$ i osi wielkiej elipsy o długości 6.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Elipsa

Elipsa jest to linia krzywa określona poprzez równanie: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.