Pole i obwód elipsy

Mówiąc o polu powierzchni elipsy mamy na myśli figurę geometryczną ograniczoną poprzez krzywą, która jest elipsą.

Pole elipsy

Twierdzenie

Pole powierzchni elipsy wyraża się wzorem:

$P=\pi ab$

gdzie a oraz b są półosiami elipsy.

Obwód elipsy

Obwód elipsy nie da się przedstawić w postaci algebraicznej. Stosujemy wzory przybliżone lub następujący wzór:

Twierdzenie

Obwód elipsy wyraża się wzorem:

$L=4aE(\varepsilon)=2\pi a[1-(\frac{1}{2})^2\varepsilon ^2-(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^4}{3}-(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6})^2 \cdot \frac{\varepsilon ^6}{5}-...]$

gdzie a jest wielką półosią elipsy, ε - mimośród elipsy, natomiast E(ε) jest pełną całką eliptyczną drugiego rodzaju (całka eliptyczna jest pojęciem z zakresu studiów wyższych dlatego warto zapoznać się z wzorem przybliżonym).

W literaturze można również znaleźć wiele wzorów przybliżonych. Oto jeden z nich:

$L=\pi[\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}]$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pole i obwód elipsy

Zadanie - pole powierzchni elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole elipsy, obliczanie pola powierzchni elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczyć pole elipsy
Dany jest okrąg o równaniu . Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - oblicz obwód elipsy
Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu $6\pi$ i osi wielkiej elipsy o długości 6.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Elipsa
Elipsa jest to linia krzywa określona poprzez równanie: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.