Nauka » Matematyka » Pole i obwód elipsy

Zadanie - obliczyć pole elipsy

Dany jest okrąg o równaniu

. Długość półosi wielkiej pewnej elipsy jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła wyznaczonego przez okrąg. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$P_k=\pi a^2=4\pi$
$P_e=\pi ab=2\pi b\\ P_e=\frac{1}{2}P_k=2\pi\\ 2\pi b=2\pi /:2\pi\\ b=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie okręgu o środku O(x_s,y_s) ma następującą postać:

W naszym przypadku mamy więc:

$x^2+y^2=4\\ (x-0)^2+(y-0)^2=2^2\\ x_s=0, \ y_s=0, \ r=2$

Równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie O(0,0) (początek układu współrzędnych) i promieniu r=0. Półoś wielka a=r=2. Oznaczmy półoś małą elipsy przez b. Jest to wielkość szukana. Sporządzamy szkic:

Pole elipsy obliczamy ze wzoru:

$P_e=\pi ab$

gdzie a,b to długości półosi elipsy.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$P_k=\pi r^2$

Z warunków zadania wiemy, że a=r, obliczamy więc pole koła:

$P_k=\pi r^2=\pi a^2=\pi \cdot 2^2=4\pi$ tło

Wiemy, że pole elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła. Obliczamy pole powierzchni elipsy:

$a=2\\ P_e=\pi ab=2\pi b\\ P_e=\frac{1}{2}P_k=\frac{1}{2}\cdot 4\pi=2\pi\\ 2\pi b=2\pi /:2\pi\\ b=1$ tło

Odpowiedź

Zadania podobne

Zadanie - pole powierzchni elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole elipsy, obliczanie pola powierzchni elipsy
Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - oblicz obwód elipsy
Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu $6\pi$ i osi wielkiej elipsy o długości 6.

Pokaż rozwiązanie zadania