Zadanie - obliczyć pole elipsy

Rozwiązanie zadania

Równanie okręgu o środku \(O(x_s,y_s)\) ma następującą postać:

W naszym przypadku mamy więc:

\(x^2+y^2=4\)

\((x-0)^2+(y-0)^2=2^2\)

\(x_s=0, \ y_s=0, \ r=2\)

Równanie opisuje więc okrąg o środku w punkcie \(O(0,0)\) (początek układu współrzędnych) i promieniu \(r=0\). Półoś wielka \(a=r=2\). Oznaczmy półoś małą elipsy przez \(b\). Jest to wielkość szukana. Sporządzamy szkic:

Pole elipsy obliczamy ze wzoru:

gdzie \(a,b\) to długości półosi elipsy.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

Z warunków zadania wiemy, że \(a=r\), obliczamy więc pole koła:

\(P_k=\pi r^2=\pi a^2=\pi \cdot 2^2=4\pi\)

Wiemy, że pole elipsy jest dwa razy mniejsze od pola koła. Obliczamy pole powierzchni elipsy:

\(a=2\)

\(P_e=\pi ab=2\pi b\)

\(P_e=\frac{1}{2}P_k=\frac{1}{2}\cdot 4\pi=2\pi\)

\(2\pi b=2\pi /:2\pi\\ b=1\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-01-22, ZAD-1121

Zadania podobne

Oblicz pole powierzchni elipsy przedstawionej na rysunku.

Oblicz pole powierzchni elipsy, której półosie mają długości 6 i 5.

Oblicz pole powierzchni elipsy o równaniu \(2x^2+3y^2=6\).

Ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu \(6\pi\) i osi wielkiej elipsy o długości 6.