Elipsa

Definicja

Elipsa jest to linia krzywa określona poprzez następujące równanie:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

gdzie $a>0, \ b>0, \ a\neq b$ , a także każda figura otrzymana z tej krzywej przez przekształcenie izometryczne.

Liczba a to tak zwana półoś wielka, liczba b, to półoś mała elipsy.

Definicja

Ogniska elipsy są to dwa punkty $F_1(c,0), \ F_2(-c,0)$ , gdzie liczba c jest zdefiniowana następująco: . Ogniska leżą zawsze na osi wielkiej elipsy i są rozłożone symetrycznie względem środka elipsy.

Ogniskowa elipsy jest to odległość ognisk od siebie. Jest ona równa 2c. Liczbę c nazywamy półogniskową.

Wprowadzone wyżej pojęcia ilustruje poniższy rysunek.

Promienie wodzące punktu elipsy są to odcinki łączące ogniska elipsy z dowolnymi punktami elipsy.

Twierdzenie

Suma promieni wodzących punktu elipsy jest stała i równa długości osi wielkiej elipsy.

Powyższa własność pozwala w prosty sposób naszkicować elipsę. Ilustruje to krótki poniższy film.

Film
Jak narysować elipsę?

Mimośród elipsy

Mimośród elipsy jest to stosunek półogniskowej do półosi wielkiej elipsy. Mimośród oznaczamy zwykle grecką literą ε.

$\varepsilon=\frac{c}{a}$

Ponieważ półogniskowa jest zawsze krótsza od półosi wielkiej w elipsie, mimośród jest zawsze liczbą mniejszą od jedności.

Pytania

Ile ognisk ma elipsa?

Elipsa ma dwa ogniska

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu

? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dana jest elipsa o równaniu

. Obliczyć mimośród tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dana jest elipsa o mimośrodzie $\varepsilon=\frac{1}{2}$ i ognisku w punkcie $F=(\frac{3}{2},0)$ . Znaleźć równanie tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Oblicz mimośród elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pole i obwód elipsy

Pole powierzchni elipsy wyraża się wzorem: P=\pi ab, gdzie a oraz b są półosiami elipsy. Obwód elipsy nie da się przedstawić w postaci algebraicznej.