Nauka » Matematyka » Elipsa

Zadanie - elipsa, ognisko elipsy

Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\\\\ c^2=a^2-b^2=3\\ c=\sqrt{3}\\ F_1=(\sqrt{3},0)\\ F_2=(-\sqrt{3},0)$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie elipsy jest następujące:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

gdzie a jest półosią wielką elipsy, b - półosią małą elipsy.

Przekształcamy więc nasze równanie do powyższej postaci:

$\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\\ a=2, \ b=1$

Długość półosi wielkiej jest więc równa 2, półosi małej 1. Ogniska F₁, F₂ można wyznaczyć, gdy znamy półogniskową c, która dana jest wzorem:

Mamy więc:

$c^2=2^2-1^2=4-1=3\\ c=\sqrt{3} \ \vee \ c=-\sqrt{3}$

Pomijamy wartość ujemną $-\sqrt{3}$ ponieważ c jest odległością, więc jest liczbą dodatnią. Mając dane c wyznaczamy ogniska elipsy zgodnie ze wzorami:

$F_1=(c,0), \ F_2=(-c,0)$

Mamy więc:

$F_1=(\sqrt{3},0)\\ F_2=(-\sqrt{3},0)\\ \sqrt{3}\approx 1,732$

Aby sporządzić szkic elipsy, zaznaczamy w układzie współrzędnych półosie elipsy i rysujemy elipsę. Następnie zaznaczamy ogniska:

Zadania podobne

Zadanie - długość półosi wielkiej elipsy
Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu

? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - elipsa, mimośród elipsy
Dana jest elipsa o równaniu

. Obliczyć mimośród tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - elipsa, równanie elipsy
Dana jest elipsa o mimośrodzie $\varepsilon=\frac{1}{2}$ i ognisku w punkcie $F=(\frac{3}{2},0)$ . Znaleźć równanie tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie mimośrodu elipsy
Oblicz mimośród elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania