Zadanie - elipsa, równanie elipsy
Treść zadania:
Dana jest elipsa o mimośrodzie \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) i ognisku w punkcie \(F=(\frac{3}{2},0)\). Znaleźć równanie tej elipsy.
Rozwiązanie zadania
Równanie elipsy jest następujące:
gdzie a jest półosią wielką elipsy, b - półosią małą elipsy. Długości półosi \(a, b\) są więc szukanymi w tym zadaniu. Dane są zaś mimośród, który obliczamy ze wzoru:
oraz ognisko, które wyznaczamy następująco:
\(F=(c,0), \ c^2=a^2-b^2\)
Możemy więc zapisać::
\(\varepsilon=\frac{c}{a}/\cdot a\)
\(c=\varepsilon a/:\varepsilon\)
\(a=\frac{c}{\varepsilon}\)
Zapisujemy dane z treści zadania i obliczamy długość półosi wielkiej:
\(F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\)
\(\varepsilon=\frac{1}{2}\)
\(a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} =\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}=3\)
Aby wyznaczyć długość półosi małej korzystamy z zależności między długością półogniska a długościami półosi:
\(c^2=a^2-b^2\)
\(b^2=a^2-c^2\)
\(b^2=9-\frac{9}{4}\)
\(b^2=\frac{27}{4}\)
\(b=\sqrt{\frac{9\cdot 3}{2^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Mamy już wartości \(a\) oraz \(b\). Znamy więc równanie elipsy:
\(a=3, \ b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1\)
\(\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=1\)
\(\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{\frac{9 \cdot{3}}{4}}=1 \)
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{27}{4}}=1\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-19, ZAD-1116
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu \(x^2+16y^2=144\)? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.
Zadanie nr 2.
Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\).
Zadanie nr 3.
Dana jest elipsa o równaniu \(x^2+4y^2=4\). Obliczyć mimośród tej elipsy.
