Nauka » Matematyka » Elipsa

Zadanie - elipsa, równanie elipsy

Dana jest elipsa o mimośrodzie $\varepsilon=\frac{1}{2}$ i ognisku w punkcie $F=(\frac{3}{2},0)$ . Znaleźć równanie tej elipsy.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$
$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$
$c^2=a^2-b^2\\ b^2=9-\frac{9}{4}\\ b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \frac{x^2}{9}+\frac{4y^2}{27}=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie elipsy jest następujące:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

gdzie a jest półosią wielką elipsy, b - półosią małą elipsy. Długości półosi a, b są więc szukanymi w tym zadaniu. Dane są zaś mimośród, który obliczamy ze wzoru:

$\varepsilon=\frac{c}{a}$

oraz ognisko, które wyznaczamy następująco:

$F=(c,0), \ c^2=a^2-b^2$

Możemy więc zapisać::

$\varepsilon=\frac{c}{a}/\cdot a\\ c=\varepsilon a/:\varepsilon\\ a=\frac{c}{\varepsilon}$

Zapisujemy dane z treści zadania i obliczamy długość półosi wielkiej:

$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}=3$

Aby wyznaczyć długość półosi małej korzystamy z zależności między długością półogniska a długościami półosi:

$c^2=a^2-b^2\\ b^2=a^2-c^2\\ b^2=9-\frac{9}{4}\\ b^2=\frac{27}{4}\\ b=\sqrt{\frac{9\cdot 3}{2^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Mamy już wartości a oraz b. Znamy więc równanie elipsy:

$a=3, \ b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{\frac{9 \cdot{3}}{4}}=1 \\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{27}{4}}=1$

Odpowiedź

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{27}{4}}=1$

Zadania podobne

Zadanie - długość półosi wielkiej elipsy
Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu

? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - elipsa, ognisko elipsy
Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - elipsa, mimośród elipsy
Dana jest elipsa o równaniu

. Obliczyć mimośród tej elipsy.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obliczanie mimośrodu elipsy
Oblicz mimośród elipsy przedstawionej na rysunku.
Elipsa

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.