Zadanie - elipsa, równanie elipsy

Dana jest elipsa o mimośrodzie $\varepsilon=\frac{1}{2}$ i ognisku w punkcie $F=(\frac{3}{2},0)$ . Znaleźć równanie tej elipsy.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$
$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$
$c^2=a^2-b^2\\ b^2=9-\frac{9}{4}\\ b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \frac{x^2}{9}+\frac{4y^2}{27}=1$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Równanie elipsy jest następujące:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

gdzie a jest półosią wielką elipsy, b - półosią małą elipsy. Długości półosi a, b są więc szukanymi w tym zadaniu. Dane są zaś mimośród, który obliczamy ze wzoru:

$\varepsilon=\frac{c}{a}$

oraz ognisko, które wyznaczamy następująco:

$F=(c,0), \ c^2=a^2-b^2$

Możemy więc zapisać::

$\varepsilon=\frac{c}{a}/\cdot a\\ c=\varepsilon a/:\varepsilon\\ a=\frac{c}{\varepsilon}$

Zapisujemy dane z treści zadania i obliczamy długość półosi wielkiej:

$F=(c,0)=(\frac{3}{2},0)\Rightarrow c=\frac{3}{2}\\ \varepsilon=\frac{1}{2}\\ a=\frac{c}{\varepsilon}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}=3$

Aby wyznaczyć długość półosi małej korzystamy z zależności między długością półogniska a długościami półosi:

$c^2=a^2-b^2\\ b^2=a^2-c^2\\ b^2=9-\frac{9}{4}\\ b^2=\frac{27}{4}\\ b=\sqrt{\frac{9\cdot 3}{2^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Mamy już wartości a oraz b. Znamy więc równanie elipsy:

$a=3, \ b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}=1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{\frac{9 \cdot{3}}{4}}=1 \\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{\frac{27}{4}}=1$