Okrąg

Co to jest okrąg?

Definicja

Okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r\) jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu \(S\) są równe liczbie dodatniej \(r\).
Okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r\) oznaczamy następująco: \(o(S,r)\).

okrąg

Promień jest więc odcinkiem \(\overline{r}\) o długości \(r\). Należy pamiętać, że zarówno środek okręgu \(S\), jak i promień okręgu \(r\) nie należy do okręgu.

Równanie okręgu

W odrębnym artykule piszemy o tym, jak można opisać okrąg w układzie współrzędnych. Podajemy tam równanie okręgu. Jest to tak zwane równanie kanoniczne okręgu.

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)

gdzie \(r>0\) jest promieniem okręgu, a \(S(p,q)\) jest jego środkiem.

równanie okręgu

Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

Koło

Co to jest koło i czym się różni od okręgu?

Definicja

Koło o środku \(S\) i promieniu \(r\) jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu \(S\) są mniejsze lub równe liczbie dodatniej \(r\).
Koło o środku \(S\) i promieniu \(r\) oznaczamy następująco: \(k(S,r)\).

koło

Promień jest odcinkiem \(\overline{r}\) o długości \(r\). W przypadku koła środek okręgu \(S\) jak i promień okręgu \(r\) należy do okręgu.

Warto też zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła.


Cięciwa okręgu

Z pojęciem okręgu i koła wiążą się inne pojęcia matematyczne. Oto niektóre z nich:

średnica i cięciwa okręgu

Cięciwa okręgu jest to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu.

Średnica okręgu

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.

Z powyższych definicji możemy wywnioskować następujące wnioski:

Sieczna i odcinek koła

sieczna i odcinek okręgu

Sieczna okręgu (lub koła) jest to prosta wyznaczona przez dwa różne punkty okręgu (brzegu koła).

Odcinek koła jest to część koła po jednej stronie siecznej wraz z cięciwą należącą do tej siecznej. Sieczna wyznacza dwa odcinki koła, a cięciwa należy zarówno do jednego, jak i do drugiego odcinka koła.

Pole koła i długość okręgu

Pole koła i obwód okręgu omawiamy w osobnym artykule tutaj.

Twierdzenia o okręgu

Twierdzenie 1

Kąt ostry między cięciwą i styczna, która przechodzi przez koniec cięciwy, jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie.

ilustracja do twierdzenia

Twierdzenie 2

Wszystkie kąty wpisane w dany okrąg i oparte na tym samym łuku są równe i równe połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

kąty wpisane i środkowy

Twierdzenie 3

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym.

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym

Twierdzenie 4

Odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

\(h=\sqrt{xy}\)

ilustracja do twierdzenia

Twierdzenie 5

Odcinki leżące na dwóch stycznych do okręgu, poprowadzonych z dowolnego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt oraz punkty styczności są równe.

ilustracja do twierdzenia

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie jest to okrąg, do którego należą wszystkie wierzchołki tego wielokąta. Można też powiedzieć, że wielokąt jest wpisany w okrąg.

Nie na każdym wielokącie można opisać okrąg. Okrąg można opisać na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie, który stanowi właśnie środek tego okręgu.

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe.

Trapez wpisany w okrąg

Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg. Aby wyznaczyć środek okręgu opisanego na trapezie, należy wyznaczyć punkt przecięcia się symetralnych dwóch boków trapezu (przynajmniej jednego ramienia).

Kwadrat i prostokąt wpisany w okrąg

Każdy kwadrat i prostokąt posiada okrąg opisany. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu przekątnych kwadratu lub prostokąta.

Okrąg wpisany w wielokąt

okręgi wpisane w trójkąt lub wielokąt

Okrąg wpisany w wielokąt jest to okrąg, do którego są styczne wszystkie boki danego wielokąta. Mówimy też, że wielokąt jest opisany na okręgu.

Środek okręgu wpisanego w wielokąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego wielokąta.

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

W czworokąt można wpisać okrąg, gdy jest on wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Pytania

Czym się różni koło od okręgu?

Okrąg jest brzegiem koła. Do koła zatem należą także punkty wewnątrz okręgu. Czasem błędnie się sądzi, że środek należy do okręgu. Środek należy do koła, do okręgu już nie.

Jak wyznaczyć środek okręgu?

Wystarczy wybrać dowolne dwie cięciwy okręgu i znaleźć ich symetralne. Punkt przecięcia się tych symetralnych jest środkiem okręgu.

Czy w każdy kwadrat można wpisać okrąg?

Tak. Jego środek leży na przecięciu przekątnych kwadratu.

Czy w prostokąt można wpisać okrąg?

Nie.

Czy w trapez można wpisać okrąg?

Tak, ale tylko w taki, którego sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Co to jest okrąg wielki sfery?

Jest to okrąg, który powstał przez przekrój sfery płaszczyzną przechodzącą przez środek tej sfery.

Jak sprawdzić, czy podane równanie jest równaniem okręgu?

Problem ten omawiamy tutaj.

Jak opisać okrąg na trójkącie?

Problem ten omawiamy tutaj.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Przez punkty \(A, B\) na okręgu o promieniu \(r=2,5\) poprowadzono średnicę. Punkt \(D\) leży na okręgu tak, że \(|BD|=4\). Oblicz odległość \(|AD|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt \(A\) w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt \(A\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Oblicz miarę kąta \(alpha\), zaznaczonego na rysunku.

Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Punkty \(ABCD\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(BDC\) jest równa:

Zadanie maturalne - 2016

A. 91°

B. 72,5°

C. 18°

D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o \(20°\) mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

A. \(5°\)

B. \(10°\)

C. \(20°\)

D. \(30°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

rysunek
Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leży punkt \(C\) (zobacz rysunek). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(\alpha\) ma miarę:

A. \(m=116°

B. \(m=114°

C. \(m=112°

D. \(m=110°

Rysunek

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K, L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\), spełniają warunek \(\alpha +\beta=111°\). Wynika stąd, że

Rysunek

A. \(\alpha=74°\)

B. \(\alpha=76°\)

C. \(\alpha=70°\)

D. \(\alpha=72°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy 2.

rysunek

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny oraz \(|AC|>|BC|\). Dwusieczna \(d_C\) kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\). Punkt \(L\) jest obrazem punktu \(K\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_A\) kąta \(BAC\), punkt \(M\) jest obrazem punktu \(L\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_C\) kąta \(ACB\), a punkt \(N\) jest obrazem punktu \(M\) w symetrii osiowej względem dwusiecznej \(d_B\) kąta \(ABC\) (zobacz rysunek).

rysunek

Udowodnij, że na czworokącie \(KNML\) można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).

rysunek

A. \(\alpha=30°\)

B. \(\alpha<30°\)

C. \(\alpha>45°\)

D. \(\alpha=45°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Rysunek

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).

Zadanie 17, matura 2022

Wtedy kąt ABD ma miarę

A. \(\frac{\alpha}{2}+\gamma−180°\)

B. \(180°-\frac{\alpha}{2}-\gamma\)

C. \(180°-\alpha-\gamma\)

D. \(\alpha+\gamma−180°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ACO\) ma miarę 70° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego \(ABC\) jest równa:

Zadanie 21, matura 2023, matematyka

A. \(10°\)

B. \(20°\)

C. \(35°\)

D. \(40°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Okrąg i koło — quiz

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
10.84 / 108.4%
2024-01-22


Wybrane karty pracy

ikona - karta pracy

Okrąg i koło



Dlaczego garnki są okrągłe?
Co sprawia, że widujemy w sprzedaży garnki o podstawie koła, a nie na przykład kwadratu? Może to zwykłe przyzwyczajenie i wygoda? Okazuje się, że powodów jest kilka.

Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-10-28, A-994
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-12



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.