Okrąg

Definicja

Okrąg o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są równe liczbie dodatniej r.
Okrąg o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: o(S,r)

Promień jest więc odcinkiem $\overline{r}$ o długości r. Należy pamiętać, że zarówno środek okręgu S jak i promień okręgu r nie należy do okręgu.

Koło

Definicja

Koło o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są mniejsze lub równe liczbie dodatniej r.
Koło o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: k(S,r)

Promień jest odcinkiem $\overline{r}$ o długości r. W przypadku koła środek okręgu S jak i promień okręgu r należy do okręgu.

Warto też zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła.

Cięciwa i średnica okręgu

Z pojęciem okręgu i koła wiążą się inne pojęcia matematyczne. Oto niektóre z nich:

Definicja

Cięciwa okręgu jest to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu

Definicja

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.

Z powyższych definicji możemy wywnioskować następujące wnioski:

Długość średnicy jest równa podwojonej długości promienia okręgu - 2r
Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu

Sieczna i odcinek koła

Definicja

Sieczna okręgu (lub koła) jest to prosta wyznaczona przez dwa różne punkty okręgu (brzegu koła).

Odcinek koła jest to część koła po jednej stronie siecznej wraz z cięciwą należącą do tej siecznej. Sieczna wyznacza dwa odcinki koła, a cięciwa należy zarówno do jednego jak i do drugiego odcinka koła.

Łuk okręgu

Definicja

Łuk okręgu o końcach A i B jest to część okręgu leżąca po jednej stronie siecznej wyznaczonej przez punkty okręgu A i B i oznaczamy go następująco: $\quad{}\smile\\AB$

Zauważmy, że sieczna wyznacza dwa łuki AB. Aby je od siebie odróżnić, często wprowadzamy w oznaczeniu łuku dodatkowy punkt, który jednoznacznie określa, który łuk rozpatrujemy.

O każdym z łuków pokazanych na rysunku możemy powiedzieć, że jest wsparty na cięciwie $\overline{AB}$ .

Łuk, który jest wsparty na średnicy nazywamy półokręgiem, natomiast odcinek koła, wyznaczony przez średnicę nazywamy półkolem.

Aksjomat

Odcinek (i łuk dowolnego okręgu), który łączy punkt wewnętrzny dowolnego koła z punktem zewnętrznym tego koła ma z brzegiem koła dokładnie jeden punkt wspólny.

Twierdzenia o okręgu

Twierdzenie

Kąt ostry między cięciwą i styczna, która przechodzi przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie.

Twierdzenie

Wszystkie kąty wpisane w dany okrąg i oparte na tym samym łuku są równe i równe połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Twierdzenie

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym.

Twierdzenie

Odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

$h=\sqrt{xy}$

Twierdzenie

Odcinki leżące na dwóch stycznych do okręgu, poprowadzonych z dowolnego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt oraz punkty styczności są równe.