Logo Serwisu Media Nauka

Okrąg

okrąg

Definicja Definicja

Okrąg o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są równe liczbie dodatniej r.
Okrąg o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: o(S,r)

Promień jest więc odcinkiem \overline{r} o długości r. Należy pamiętać, że zarówno środek okręgu S jak i promień okręgu r nie należy do okręgu.


Koło

koło

Definicja Definicja

Koło o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są mniejsze lub równe liczbie dodatniej r.
Koło o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: k(S,r)

Promień jest odcinkiem \overline{r} o długości r. W przypadku koła środek okręgu S jak i promień okręgu r należy do okręgu.

Warto też zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła.


Cięciwa i średnica okręgu

Z pojęciem okręgu i koła wiążą się inne pojęcia matematyczne. Oto niektóre z nich:

średnica i cięciwa okręgu

Definicja Definicja

Cięciwa okręgu jest to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu

Definicja Definicja

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.

Z powyższych definicji możemy wywnioskować następujące wnioski:

  • Długość średnicy jest równa podwojonej długości promienia okręgu - 2r
  • Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu

Sieczna i odcinek koła

sieczna i odcinek okręgu

Definicja Definicja

Sieczna okręgu (lub koła) jest to prosta wyznaczona przez dwa różne punkty okręgu (brzegu koła).

Odcinek koła jest to część koła po jednej stronie siecznej wraz z cięciwą należącą do tej siecznej. Sieczna wyznacza dwa odcinki koła, a cięciwa należy zarówno do jednego jak i do drugiego odcinka koła.


Łuk okręgu

łuk okręgu

Definicja Definicja

Łuk okręgu o końcach A i B jest to część okręgu leżąca po jednej stronie siecznej wyznaczonej przez punkty okręgu A i B i oznaczamy go następująco: \quad{}\smile\\AB

Zauważmy, że sieczna wyznacza dwa łuki AB. Aby je od siebie odróżnić, często wprowadzamy w oznaczeniu łuku dodatkowy punkt, który jednoznacznie określa, który łuk rozpatrujemy.

O każdym z łuków pokazanych na rysunku możemy powiedzieć, że jest wsparty na cięciwie \overline{AB}.

Łuk, który jest wsparty na średnicy nazywamy półokręgiem, natomiast odcinek koła, wyznaczony przez średnicę nazywamy półkolem.

TwierdzenieAksjomat

Odcinek (i łuk dowolnego okręgu), który łączy punkt wewnętrzny dowolnego koła z punktem zewnętrznym tego koła ma z brzegiem koła dokładnie jeden punkt wspólny.

Twierdzenia o okręgu

Twierdzenie Twierdzenie

Kąt ostry między cięciwą i styczna, która przechodzi przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie.

ilustracja do twierdzenia

Twierdzenie Twierdzenie

Wszystkie kąty wpisane w dany okrąg i oparte na tym samym łuku są równe i równe połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

kąty wpisane i środkowy

Twierdzenie Twierdzenie

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym.

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym

Twierdzenie Twierdzenie

Odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

h=\sqrt{xy}
ilustracja do twierdzenia

Twierdzenie Twierdzenie

Odcinki leżące na dwóch stycznych do okręgu, poprowadzonych z dowolnego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt oraz punkty styczności są równe.

ilustracja do twierdzenia

© medianauka.pl, 2010-10-28, ART-994





Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

zadanie-ikonka Zadanie - geometria analityczna
Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

zadanie-ikonka Zadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręgu
Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016
A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 31, matura 2014
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.