Okrąg

Definicja

Okrąg o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są równe liczbie dodatniej r.
Okrąg o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: o(S,r)

Promień jest więc odcinkiem $\overline{r}$ o długości r. Należy pamiętać, że zarówno środek okręgu S jak i promień okręgu r nie należy do okręgu.

W odrębnym artykule piszemy o tym jak można opisać okrąg w układzie współrzędnych. Podajemy tam równanie okręgu. Jest to tak zwane równanie kanoniczne okręgu.

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

Koło

Definicja

Koło o środku S i promieniu r jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu S są mniejsze lub równe liczbie dodatniej r.
Koło o środku S i promieniu r oznaczamy następująco: k(S,r)

Promień jest odcinkiem $\overline{r}$ o długości r. W przypadku koła środek okręgu S jak i promień okręgu r należy do okręgu.

Warto też zauważyć, że okrąg stanowi brzeg koła.

Cięciwa

Z pojęciem okręgu i koła wiążą się inne pojęcia matematyczne. Oto niektóre z nich:

Definicja

Cięciwa okręgu jest to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu

Średnica

Definicja

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu.

Z powyższych definicji możemy wywnioskować następujące wnioski:

Długość średnicy jest równa podwojonej długości promienia okręgu - 2r
Średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu

Sieczna i odcinek koła

Definicja

Sieczna okręgu (lub koła) jest to prosta wyznaczona przez dwa różne punkty okręgu (brzegu koła).

Odcinek koła jest to część koła po jednej stronie siecznej wraz z cięciwą należącą do tej siecznej. Sieczna wyznacza dwa odcinki koła, a cięciwa należy zarówno do jednego jak i do drugiego odcinka koła.

Twierdzenia o okręgu

Twierdzenie

Kąt ostry między cięciwą i styczna, która przechodzi przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie.

Twierdzenie

Wszystkie kąty wpisane w dany okrąg i oparte na tym samym łuku są równe i równe połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Twierdzenie

Kąt wpisany w półkole oparty na średnicy jest kątem prostym.

Twierdzenie

Odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

$h=\sqrt{xy}$

Twierdzenie

Odcinki leżące na dwóch stycznych do okręgu, poprowadzonych z dowolnego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt oraz punkty styczności są równe.

Okrąg opisany na wielokącie

Okrąg opisany na wielokącie jest to okrąg, do którego należą wszystkie wierzchołki tego wielokąta. Można też powiedzieć, że wielokąt jest wpisany w okrąg.

Nie na każdym wielokącie można opisać okrąg. Okrąg można opisać na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie, który stanowi właśnie środek tego okręgu.

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe.

Trapez wpisany w okrąg

Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg. Aby wyznaczyć środek okręgu opisanego na trapezie należy wyznaczyć punkt przecięcia się symetralnych dwóch boków trapezu (przynajmniej jednego ramienia).

Kwadrat i prostokąt wpisany w okrąg

Każdy kwadrat i prostokąt posiada okrąg opisany. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu przekątnych kwadratu lub prostokąta.

Okrąg wpisany w wielokąt

Okrąg wpisany w wielokąt jest to okrąg, do którego są styczne wszystkie boki danego wielokąta. Mówimy też że wielokąt jest opisany na okręgu.

Środek okręgu wpisanego w wielokąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego wielokąta.

W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Więcej na ten temat znajdziesz tutaj.

W czworokąt można wpisać okrąg, gdy jest on wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Pytania

Czym się różni koło od okręgu?

Okrąg jest brzegiem koła. Do koła zatem należą także punkty wewnątrz okręgu. Czasem błędnie się sądzi, że środek należy do okręgu. Środek należy do koła, do okręgu już nie.

Jak wyznaczyć środek okręgu?

Wystarczy wybrać dowolne dwie cięciwy okręgu i znaleźć ich symetralne. Punkt przecięcia się tych symetralnych jest środkiem okręgu.

Czy w każdy kwadrat można wpisać okrąg?

Tak. Jego środek leży na przecięciu przekątnych kwadratu.

Czy w prostokąt można wpisać okrąg?

Nie.

Czy w trapez można wpisać okrąg?

Tak, ale tylko w taki, którego sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Co to jest okrąg wielki sfery?

Jest to okrąg, który powstał przez przekrój sfery płaszczyzną przechodzącą przez środek tej sfery.

Jak sprawdzić, czy podane równanie jest równaniem okręgu?

Problem ten omawiamy tutaj.

Jak opisać okrąg na trójkącie?

Problem ten omawiamy tutaj.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Okrąg i koło

Zadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - geometria analityczna
Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręgu
Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016
A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2014
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

Pokaż rozwiązanie zadania

Dlaczego często kroimy kiełbasę pod kątem?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę
A. m = 116°
B. m = 114°
C. m = 112°
D. m = 110°

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pole koła i długość okręgu
ole koła o promieniu r jest równe: P=\pi r^2. Długość okręgu o promieniu r jest równa: 2\pi r

Wzajemne położenie okręgów
Opis przypadków wzajemnego położenia okręgów.

Dlaczego garnki są okrągłe?

Co sprawia, że widujemy w sprzedaży garnki o podstawie koła, a nie na przykład kwadratu? Może to zwykłe przyzwyczajenie i wygoda? Okazuje się, że powodów jest kilka.