Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt (lub w wielokąt wypukły) jest to okrąg, którego środek należy do wnętrza trójkąta (wielokąta wypukłego) i który jest styczny do prostych zawierających boki tego trójkąta (wielokąta).

Poniższy rysunek przedstawia okręgi wpisane w trójkąt i czworokąt oraz pięciokąt foremny.

okręgi wpisane w trójkąt lub wielokąt

Jeśli okrąg wpisany w wielokąt jest brzegiem koła, to takie koło nazywamy kołem wpisanym w wielokąt, wielokąt zaś — wielokątem opisanym na kole.

Twierdzenie

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

okrąg wpisany w trójkąt - konstrukcja

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkącie sprowadza się do konstrukcji dwóch (mozna także trzech) dwusiecznych kątów trójkąta. W ten sposób wyznaczamy środek okręgu. Promień okręgu leży na prostej prostopadłej do boku trójkąta, przechodzącej przez środek okręgu (rzutujemy prostopadle środek okręgu na bok trójkąta). Konstrukcję okręgu wpisanego w trójkąt można prześledzić na poniższym filmie.

Okrąg wpisany w trójkąt — wzory

W kilku przypadkach możemy zastosować wzory do obliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny

Przedstawiamy wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości \(a\).

\(r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

W przypadku trójkąta równobocznego dwusieczne kątów wewnętrznych zawierają wysokości trójkąta. Wysokości przecinają się w środku ciężkości trójkąta, który dzieli wysokość w stosunku 2:1.

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Przedstawiamy wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości c.

\(r=\frac{a+b-c}{2}\)

Pytania

Czy w trójkąt równoramienny rozwartokątny można wpisać okrąg?

W każdy trójkąt można wpisać okrąg.

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

Wszystkie ćwiczenia z tego działu

Zaloguj się, a z rozwiązanych jajek wyklują się dziobaki. Bez logowania Twoja populacja nie przetrwa po opuszczeniu strony.

Zaloguj się

W tej lekcji czekają 3 złote jaja — otworzysz je w Planie Premium. W Premium otwierasz wszystkie ćwiczenia z dziobakiem w serwisie.

Odblokuj złote jaja

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty \(A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.

Pokaż rozwiązanie zadania.

⬅️ Poprzedni Pole i obwód elipsy

Spis treści

Ćwiczenia w kursie: 494 · zaloguj się, by śledzić postęp

Następny Okrąg opisany na trójkącie ➡️