Logo Media Nauka

Wielokąt

wielokąt

Definicja Definicja

Wielokąt jest to figura geometryczna, która jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną.

Łamana stanowi brzeg wielokąta. Wierzchołki łamanej to wierzchołki wielokąta, natomiast boki łamanej, która wyznacza ten wielokąt, to boki wielokąta.

Rodzaje wielokątów

Przykładami wielokątów są trójkąty, kwadraty, prostokąty, wielokąty foremne, wielokąty nieforemne. Wszystkie omawiamy w osobnych artykułach.

Właściwości wielokątów

Definicja Definicja

Przekątna wielokąta, to każdy odcinek nie będący bokiem wielokąta, łączący dwa wierzchołki tego wielokąta.

Poniższy rysunek przedstawia wszystkie przekątne (kolor niebieski) danego wielokąta.

przekątna

W dowolnym wielokącie wypukłym stosunek liczby przekątnych p do liczby boków n jest następujący:

p=n(n-3)/2

Definicja Definicja

Obwód wielokąta jest to suma długości boków wielokąta.

Definicja Definicja

Kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego jest to kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku wielokąta.

kąty wewnętrzne

Na powyższym rysunku zaznaczono wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta ABCD.

Co to jest wielokąt wypukły?

Twierdzenie Twierdzenie

Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są wypukłe.

Definicja Definicja

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta.

kąty zewnętrzne

Na rysunku zaznaczono kolorem niebieskim kąty zewnętrzne wielokąta.

Suma miar kątów wielokąta

Ile wynosi suma kątów wewnętrznych?

suma miar kątów w trójkącie

Twierdzenie Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest kątem półpełnym.

Możemy też napisać:

Twierdzenie Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°.

Przykład Przykład

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 30°. Wyznacz pozostałe katy wewnętrzne tego trójkąta.

Ponieważ mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, więc jeden z jego kątów ma miarę 90°. Korzystając z powyższego twierdzenia mamy:

90°+30°+x=180°
x
=180°-90°-30°
x
=60°

suma miar katów w czworokącie

Twierdzenie Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wypukłym jest równa 360°.

Twierdzenie Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym jest równa (n-2)·180°.

Poniżej szkic dowodu powyższego twierdzenia.

Teoria Można wykazać, że każdy n-kąt wypukły można podzielić na (n-2) trójkątów (patrz na rysunek), których suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°. Zatem można w ten sposób wykazać prawdziwość ostatniego z zaprezentowanych tutaj twierdzeń.

suma miar kątów

Twierdzenie Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w okrąg można było wpisać czworokąt jest aby sumy przeciwległych kątów były równe.

Twierdzenie Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w czworokąt można było wpisać okrąg jest aby sumy długości przeciwległych boków były równe.

Pytania

Jak obliczyć pole wielokąta nieforemnego?

Taki wielokąt można podzielić na trójkąty. Pole wielokąta będzie sumą pól powierzchni tych trójkątów.

Ile przekątnych ma wielokąt wypukły o 12 bokach?

Liczbę przekątnych w wielokącie wypukłym można obliczyć na podstawie wzoru p=n(n-3)/2. Zatem wielokąt wypukły o 12 bokach ma p=12·(12-3)/2=54 przekątne.

Co to jest wielokąt niewypukły?

Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy niewypukłym.

figury wypukłe i niewypukłe

Na powyższym rysunku przedstawiono przykład wielokąta wypukłego (f1) oraz wielokąta niewypukłego (f2), gdzie wyraźnie widać, że część odcinka o końcach należących do figury f2 leży poza tą figurą.

Jak skonstruować wielokąt foremny?

Na to pytanie odpowiadamy tutaj.

Co to jest wielokąt foremny?

Wielokąty foremne, a także wzory z nimi związane, omawiamy w odrębnym artykule:

Wielokąt foremnyWielokąt foremny
Co to jest wielokąt foremny?

ikona - tablica

© medianauka.pl, 2010-10-30, ART-998





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wielokąt

zadanie-ikonka Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162o. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - kąt zewnętrzny
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Figura geometrycznaFigura geometryczna
Figura geometryczna jest to dowolny zbiór punktów. Zbiór wszystkich punktów nazywamy przestrzenią.
Podział odcinkaPodział odcinka
Ilustracja podziału odcinka na równe części. W artykule omówiono także złoty podział odcinka oraz wzory analityczne z tym związane.
Twierdzenie TalesaTwierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa - omówienie, przykłady, zadania, twierdzenie odwrotne.



© Media Nauka 2008-2018 r.