Wielokąt

Definicja
Wielokąt jest to figura geometryczna, która jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną.
Łamana stanowi brzeg wielokąta. Wierzchołki łamanej to wierzchołki wielokąta, natomiast boki łamanej, która wyznacza ten wielokąt, to boki wielokąta.
Rodzaje wielokątów
Przykładami wielokątów są trójkąty, kwadraty, prostokąty, wielokąty foremne, wielokąty nieforemne. Wszystkie omawiamy w osobnych artykułach.
Właściwości wielokątów
Definicja
Przekątna wielokąta, to każdy odcinek nie będący bokiem wielokąta, łączący dwa wierzchołki tego wielokąta.
Poniższy rysunek przedstawia wszystkie przekątne (kolor niebieski) danego wielokąta.

W dowolnym wielokącie wypukłym stosunek liczby przekątnych p do liczby boków n jest następujący:
Definicja
Obwód wielokąta jest to suma długości boków wielokąta.
Definicja
Kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego jest to kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku wielokąta.

Na powyższym rysunku zaznaczono wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta ABCD.
Co to jest wielokąt wypukły?
Twierdzenie
Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są wypukłe.
Definicja
Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta.

Na rysunku zaznaczono kolorem niebieskim kąty zewnętrzne wielokąta.
Suma miar kątów wielokąta
Ile wynosi suma kątów wewnętrznych?

Twierdzenie
Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest kątem półpełnym.
Możemy też napisać:
Twierdzenie
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°.
Przykład
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 30°. Wyznacz pozostałe katy wewnętrzne tego trójkąta.
Ponieważ mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, więc jeden z jego kątów ma miarę 90°. Korzystając z powyższego twierdzenia mamy:
90°+30°+x=180°
x=180°-90°-30°
x=60°

Twierdzenie
Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wypukłym jest równa 360°.
Twierdzenie
Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym jest równa (n-2)·180°.
Poniżej szkic dowodu powyższego twierdzenia.
Można wykazać, że każdy n-kąt wypukły można podzielić na (n-2) trójkątów (patrz na rysunek), których suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°. Zatem można w ten sposób wykazać prawdziwość ostatniego z zaprezentowanych tutaj twierdzeń.

Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w okrąg można było wpisać czworokąt jest aby sumy przeciwległych kątów były równe.
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w czworokąt można było wpisać okrąg jest aby sumy długości przeciwległych boków były równe.
Pytania
Jak obliczyć pole wielokąta nieforemnego?
Taki wielokąt można podzielić na trójkąty. Pole wielokąta będzie sumą pól powierzchni tych trójkątów.
Ile przekątnych ma wielokąt wypukły o 12 bokach?
Liczbę przekątnych w wielokącie wypukłym można obliczyć na podstawie wzoru p=n(n-3)/2. Zatem wielokąt wypukły o 12 bokach ma p=12·(12-3)/2=54 przekątne.
Co to jest wielokąt niewypukły?
Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy niewypukłym.

Na powyższym rysunku przedstawiono przykład wielokąta wypukłego (f1) oraz wielokąta niewypukłego (f2), gdzie wyraźnie widać, że część odcinka o końcach należących do figury f2 leży poza tą figurą.
Jak skonstruować wielokąt foremny?
Na to pytanie odpowiadamy tutaj.
Co to jest wielokąt foremny?
Wielokąty foremne, a także wzory z nimi związane, omawiamy w odrębnym artykule:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162o. Ile boków ma ten wielokąt?Zadanie nr 2.
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.Zadanie nr 3.
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?Inne zagadnienia z tej lekcji
Figura geometryczna

Figura geometryczna jest to dowolny zbiór punktów. Zbiór wszystkich punktów nazywamy przestrzenią.
Podział odcinka

Ilustracja podziału odcinka na równe części. W artykule omówiono także złoty podział odcinka oraz wzory analityczne z tym związane.
© medianauka.pl, 2010-10-30, ART-998