Wielokąt

Definicja

Wielokąt jest to figura geometryczna, która jest sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i części płaszczyzny ograniczonej tą łamaną.

Łamana stanowi brzeg wielokąta. Wierzchołki łamanej to wierzchołki wielokąta, natomiast boki łamanej, która wyznacza ten wielokąt, to boki wielokąta.

Rodzaje wielokątów

Przykładami wielokątów są trójkąty, kwadraty, prostokąty, wielokąty foremne, wielokąty nieforemne. Wszystkie omawiamy w osobnych artykułach.

Właściwości wielokątów

Definicja

Przekątna wielokąta, to każdy odcinek nie będący bokiem wielokąta, łączący dwa wierzchołki tego wielokąta.

Poniższy rysunek przedstawia wszystkie przekątne (kolor niebieski) danego wielokąta.

W dowolnym wielokącie wypukłym stosunek liczby przekątnych p do liczby boków n jest następujący:

p=n(n-3)/2

Definicja

Obwód wielokąta jest to suma długości boków wielokąta.

Definicja

Kąt wewnętrzny wielokąta wypukłego jest to kąt wypukły, w którego ramionach zawierają się dwa sąsiednie boku wielokąta.

Na powyższym rysunku zaznaczono wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta ABCD.

Co to jest wielokąt wypukły?

Twierdzenie

Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są wypukłe.

Definicja

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest to każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego wielokąta.

Na rysunku zaznaczono kolorem niebieskim kąty zewnętrzne wielokąta.

Suma miar kątów wielokąta

Ile wynosi suma kątów wewnętrznych?

Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest kątem półpełnym.

Możemy też napisać:

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°.

Przykład

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 30°. Wyznacz pozostałe katy wewnętrzne tego trójkąta.

Ponieważ mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, więc jeden z jego kątów ma miarę 90°. Korzystając z powyższego twierdzenia mamy:

90°+30°+x=180°
x=180°-90°-30°
x=60°

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w czworokącie wypukłym jest równa 360°.

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym jest równa (n-2)·180°.

Poniżej szkic dowodu powyższego twierdzenia.

Można wykazać, że każdy n-kąt wypukły można podzielić na (n-2) trójkątów (patrz na rysunek), których suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°. Zatem można w ten sposób wykazać prawdziwość ostatniego z zaprezentowanych tutaj twierdzeń.

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w okrąg można było wpisać czworokąt jest aby sumy przeciwległych kątów były równe.

Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby w czworokąt można było wpisać okrąg jest aby sumy długości przeciwległych boków były równe.

Pytania

Jak obliczyć pole wielokąta nieforemnego?

Taki wielokąt można podzielić na trójkąty. Pole wielokąta będzie sumą pól powierzchni tych trójkątów.

Ile przekątnych ma wielokąt wypukły o 12 bokach?

Liczbę przekątnych w wielokącie wypukłym można obliczyć na podstawie wzoru p=n(n-3)/2. Zatem wielokąt wypukły o 12 bokach ma p=12·(12-3)/2=54 przekątne.

Co to jest wielokąt niewypukły?

Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy niewypukłym.

Na powyższym rysunku przedstawiono przykład wielokąta wypukłego (f₁) oraz wielokąta niewypukłego (f₂), gdzie wyraźnie widać, że część odcinka o końcach należących do figury f₂ leży poza tą figurą.

Jak skonstruować wielokąt foremny?

Na to pytanie odpowiadamy tutaj.

Co to jest wielokąt foremny?

Wielokąty foremne, a także wzory z nimi związane, omawiamy w odrębnym artykule:

Wielokąt foremny
Co to jest wielokąt foremny?

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wielokąt

Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162^o. Ile boków ma ten wielokąt?