Nauka » Matematyka » Wielokąt foremny Wielokąt

Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny

Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162^o. Ile boków ma ten wielokąt?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\alpha=162^o=180^o-\frac{360^o}{n}\\ \frac{360^o}{n}=18^o/\cdot \frac{n}{18^o}\\ n=20$

Rozwiązanie zadania szczegółowe

Przeanalizujmy dowolny n-kąt foremny. Szukamy kąta $\alpha$ . Na podstawie rysunku widać, że

$\alpha=2\gamma$

Gdy podzielimy wielokąt foremny na trójkąty tak, jak to pokazuje rysunek, otrzymamy trójkąty równoramienne. Stąd wniosek, że dwa kąty w trójkącie są równe ( $\gamma$ ). Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, zatem:

$\gamma+\gamma+\beta=180^o\\ 2\gamma+\beta=180^o\\ \alpha+\beta=180^o\\ \alpha=180^o-\beta$ tło

Kat $\beta$ jest to kąt pełny podzielony na tyle części, z ilu boków składa się wielokąt foremny:

$\beta=\frac{360^o}{n}\\ \alpha=180^o-\frac{360^o}{n}$

W naszym przypadku mamy:

$\alpha=162^o \\ \alpha=162^o=180^o-\frac{360^o}{n}\\ \frac{360^o}{n}=180^o-162^o \\ \frac{360^o}{n}=18^o/\cdot n\\ 18^o \cdot n=360^o/:18^o\\ n=20$

Odpowiedź

Szukanym wielokątem jest dwudziestokąt foremny

Zadania podobne

Zadanie - kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt zewnętrzny
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania