Nauka » Matematyka » Wielokąt foremny

Zadanie - pole powierzchni osmiokąta foremnego

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$2a^2(1+\sqrt{2})=2\\ a^2=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$
$a^2=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\\ a^2=\sqrt{2}-1\\ a=\sqrt{\sqrt{2}-1}$
$r=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\cdot (1+\sqrt{2})\approx 0,7769$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego wyraża się wzorem:

$P=2a^2(1+\sqrt{2})$

gdzie a jest długością boku ośmiokąta foremnego. Promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny wyraża się wzorem:

$r=\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})$

Musimy więc wyznaczyć długość boku a. Dane jest pole, więc:

$P=2\\ 2a^2(1+\sqrt{2})=2/:2\\ a^2(1+\sqrt{2})=1/:(1+\sqrt{2})\\ a^2=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$

Pozbywamy się niewymierności z mianownika:

Możemy więc obliczyć promień okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny:

$r=\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})\\ r=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\cdot (1+\sqrt{2})\\ r\approx 0,7769$

Odpowiedź

$r=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}\cdot (1+\sqrt{2})\approx 0,7769$

Zadania podobne

Zadanie - pole sześciokąta foremnego
Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego jest równe $\sqrt{3}$ . Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni wielokąta foremnego
W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162^o. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt zewnętrzny
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło
W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania