Wielokąt foremny

Definicja Definicja

Wielokąt foremny jest to wielokąt, którego wszystkie boki i kąty wewnętrzne są równe.

Na poniższej ilustracji przedstawiono wielokąty foremne o trzech (trójkąt równoboczny), czterech (kwadrat, czworokąt foremny), pięciu, sześciu bokach i tak dalej (ogólnie o n-bokach).

wielokąty foremnye

Własności wielokątów foremnych

Twierdzenie Twierdzenie

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg. Oba okręgi mają wspólny środek.

wielokąt foremny wpisany i opisany na okręgu

Długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym

TablicaPoniższa tabela zawiera wzory na promień okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym dla najczęściej spotykanych liczby boków, gdy dana jest długość boku wielokąta a.


Liczna n
boków wielokąta
Promień R okręgu
opisanego na wielokącie
Promień r okręgu
wpisanego w wielokąt
3\frac{a}{\sqrt{3}}\frac{a}{2\sqrt{3}}
4\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\frac{a}{2}
5a^2\frac{a}{2\sqrt{5}}\sqrt{5+2\sqrt{5}}
6a\frac{a\sqrt{3}}{2}
8\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})
102a^2(1+\sqrt{2})\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}

Pole powierzchni wielokąta foremnego

TablicaPoniższa tabela zawiera wzory na pole powierzchni wielokąta dla najczęściej spotykanych liczby boków, gdy dana jest długość boku wielokąta a.


Liczna n
boków wielokąta
Pole powierzchni wielokąta
3\frac{a^2\sqrt{3}}{4}
4a^2
5\frac{a^2\sqrt{5}}{4}\sqrt{5+2\sqrt{5}}
6\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}
82a^2(1+\sqrt{2})
10\frac{5a^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}

Miary kątów wewnętrznych wielokąta foremnego

Poniższa tabela zawiera miary kątów wewnętrznych różnych wielokątów foremnych.

Liczba bokówMiara kąta wewnętrznego
360°
490°
5108°
6120°
7128,(571428)°
8135°
9140°
10144°
11147,(27)°
12150°

Konstrukcje


Pytania

Ile boków ma wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 160°?

Korzystamy ze wzoru k = (n - 2) /n * 180. Gdy podstawimy za k=160, otrzymamy równanie, którego rozwiązaniem jest n=18. Zatem wielokąt ten ma 18 boków.

Jak obliczyć pole wielokąta nieforemnego?

Jeżeli nie jest to trójkąt, prostokąt, trapez, równoległobok, romb lub inna figura, której pole powierzchni można policzyć na podstawie znanych powszechnie wzorów, wielokąt taki najlepiej podzielić na trójkąty, obliczyć ich pola i zsumować je.

Jak skonstruować wielokąt foremny?

W naszym serwisie pokazujemy kilka różnych konstrukcji wielokątów foremnych. Przejdź na sam koniec artykułów, są tam linki do danych konstrukcji.



Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Pole sześciokąta foremnego jest równe \sqrt{3}. Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162o. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania.



Inne zagadnienia z tej lekcji

Konstrukcja pięciokąta foremnego

Konstrukcja pięciokąta foremnego

Opis konstrukcji pięciokąta foremnego (animacja)

Konstrukcja sześciokąta foremnego

Konstrukcja sześciokąta foremnego

Animacja ilustrująca konstrukcję sześciokąta foremnego

Konstrukcja siedmiokąta foremnego

Konstrukcja siedmiokąta foremnego

Animacja ilustrująca konstrukcję siedmiokąta foremnego

Konstrukcja ośmiokąta foremnego

Konstrukcja ośmiokąta foremnego

Animacja ilustrująca konstrukcję osmiokąta foremnego




© medianauka.pl, 2010-11-29, A-1036



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.