Nauka » Matematyka » Pole koła i długość okręgu Wielokąt foremny

Zadanie - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło

W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$r^2+r^2=a^2\\ a^2=2r^2\\ P_{kw}=2r^2\\ P=P_k-P_{kw}=(\pi -2)r^2$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Kwadrat jest wielokątem foremnym, środek okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat leży na przecięciu przekątnych kwadratu. Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Bok kwadratu oznaczamy przez a. Zakreskowano szukane pole, które obliczymy odejmując od pola koła pole kwadratu.

Obliczamy pole koła:

$P_k=\pi r^2$

Aby obliczyć pole kwadratu, musimy znać długość jego boku. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla zaznaczonego na rysunku trójkąta:

$r^2+r^2=a^2\\ a^2=2r^2\\ a=r\sqrt{2}$

Obliczamy pole kwadratu:

$P_{kw}=a^2\\ P_{kw}=(r\sqrt{2})^2=2r^2$

Obliczamy pole zakreskowanej figury:

$P=P_k-P_{kw}=\pi r^2-2r^2=(\pi -2)r^2$

Odpowiedź

$(\pi -2)r^2$

Zadania podobne

Zadanie - pole sześciokąta foremnego
Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego jest równe $\sqrt{3}$ . Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni osmiokąta foremnego
Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni wielokąta foremnego
W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162^o. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt zewnętrzny
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania