Zadanie - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło
Treść zadania:
W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Kwadrat jest wielokątem foremnym, środek okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat leży na przecięciu przekątnych kwadratu. Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Bok kwadratu oznaczamy przez \(a\). Zakreskowano szukane pole, które obliczymy odejmując od pola koła pole kwadratu.
Obliczamy pole koła:
Aby obliczyć pole kwadratu, musimy znać długość jego boku. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla zaznaczonego na rysunku trójkąta:
\(r^2+r^2=a^2\)
\(a^2=2r^2\)
\(a=r\sqrt{2}\)
Obliczamy pole kwadratu:
\(P_{kw}=a^2\)
\(P_{kw}=(r\sqrt{2})^2=2r^2\)
Obliczamy pole zakreskowanej figury:
\(P=P_k-P_{kw}=\pi r^2-2r^2=(\pi -2)r^2\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-16, ZAD-1108
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?
Zadanie nr 5.
Pole koła jest równe \(\pi\). Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.
Zadanie nr 6.
Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu \(r=10\ cm\) tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?
Zadanie nr 7.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 8.
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 9.
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Zadanie nr 10.
Oblicz długość okręgu danego równaniem \((x-1)^2+(y-1)^2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).
Długość \(r\) promienia jest równa
A. \(\sqrt{3}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{5}\)
D. \(3\)