Nauka » Matematyka » Pole koła i długość okręgu

Zadanie - pole koła

Pole koła jest równe π. Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{\pi}{2}=\pi r^2/:\pi\\ \frac{1}{2}=r^2\\ r=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$
$P_{k_1}=\pi R^2/:\pi\\ R^2=\frac{P_{k_1}}{\pi}=1\\ R=1$
$\frac{R}{r}=\sqrt{2}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$P=\pi r^2$

Sporządzamy rysunek z oznaczeniami:

Znamy pole mniejszego okręgu (jest dwa razy mniejsze niż pole większego), możemy więc obliczyć promień koła mniejszego:

$P_{k_2}=\pi r^2\\ P_{k_2}=\frac{1}{2}P_{k_1}=\frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{2}=\pi r^2/:\pi\\ \frac{1}{2}=r^2\\ r=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$

Aby wyznaczyć stosunek obu promieni, musimy znać długość promienia R. Obliczymy go na podstawie wzoru na pole koła:

$P_{k_1}=\pi\\ P_{k_1}=\pi R^2/:\pi\\ R^2=\frac{P_{k_1}}{\pi}=\frac{\pi}{\pi}=1 \\ R=1$

Obliczamy stosunek promieni obu okręgów:

$\frac{R}{r}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$

Odpowiedź

$r=\frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{R}{r}=\sqrt{2}$

Zadania podobne

Zadanie - obliczanie pola koła
Obliczyć pole koła o średnicy $d=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obwód koła, obliczanie obwodu koła
Obliczyć długość okręgu o średnicy d=7

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole i promień koła
Jaki promień ma koło o polu równym 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obwód koła
Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole koła, zadanie praktyczne z treścią
Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu r=10 cm tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło
W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość okręgu
Oblicz długość okręgu danego równaniem

Pokaż rozwiązanie zadania