Strona główna » Matematyka » Pole koła i długość okręgu • Trójkąt równoboczny

zadanie

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny

W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{1}{3}h\\ r=\frac{\sqrt{3}}{6}$
$P_k=\pi r^2=\frac{\pi}{12}$
$S=2\pi r=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Okrąg wpisany w trójkąt

Aby obliczyć pole i obwód okręgu musimy poznać promień r okręgu opisanego na trójkącie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wysokość trójkąta równobocznego:

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a=1\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością, a środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać:

$r=\frac{1}{3}h\\ r=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Obliczamy pole koła:

$P_k=\pi r^2\\ P=\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{6})^2\\ P=\pi \cdot \frac{3}{36}\\ P=\frac{\pi}{12}$

Obliczamy obwód okręgu:

$S=2\pi r=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź

$P=\frac{\pi}{12}, \ S=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

© medianauka.pl, 2011-01-17, ZAD-1110

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

Zadanie - trójkąt równoboczny
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Zadanie - trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka

Polecamy

Naukowa lista przebojów

Naukowa lista przebojów
Simon Flynn

105 przykładów zastosowań całki oznaczonej

105 przykładów zastosowań całki oznaczonej
Regel Wiesława

Niezwykłe liczby profesora Stewarta

Niezwykłe liczby profesora Stewarta
Ian Stewart

81 zadań o funkcjach zespolonych

81 zadań o funkcjach zespolonych
Regel Wiesława

© Media Nauka 2008-2017 r.