Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny
Treść zadania:
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek:
Aby obliczyć pole i obwód okręgu musimy poznać promień r okręgu opisanego na trójkącie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wysokość trójkąta równobocznego:
\((\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\)
\(h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(a=1\)
\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością, a środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać:
\(r=\frac{1}{3}h\)
\(r=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Obliczamy pole koła:
\(P_k=\pi r^2\)
\(P=\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{6})^2\)
\(P=\pi \cdot \frac{3}{36}\)
\(P=\frac{\pi}{12}\)
Obliczamy obwód okręgu:
\(S=2\pi r=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-17, ZAD-1110
Zadania podobne
Zadanie nr 4.
Ile potrzeba sznurka, aby ułożyć z niego okrąg o średnicy 2 m?
Zadanie nr 5.
Pole koła jest równe \(\pi\). Jaki promień ma koło o polu dwa razy mniejszym? Oblicz stosunek promieni tych okręgów.
Zadanie nr 6.
Z kwadratowej blachy o boku długości 1 m wycięto koła o promieniu \(r=10\ cm\) tak, że środki tych kół leżą na prostych równoległych i prostopadłych. Jaka jest powierzchnia ścinków? Jaki procent powierzchni blachy stanowią ścinki?
Zadanie nr 7.
W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?
Zadanie nr 8.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 9.
Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 3 i 4 opisano koło. Oblicz pole i obwód tego koła.
Zadanie nr 10.
Oblicz długość okręgu danego równaniem \((x-1)^2+(y-1)^2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Pole figury \(F_1\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury \(F_2\) złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości \(r\) (zobacz rysunek).
Długość \(r\) promienia jest równa
A. \(\sqrt{3}\)
B. \(2\)
C. \(\sqrt{5}\)
D. \(3\)