Nauka » Matematyka » Pole koła i długość okręgu Trójkąt równoboczny

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt równoboczny

W trójkąt równoboczny o boku długości a=1 wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$r=\frac{1}{3}h\\ r=\frac{\sqrt{3}}{6}$
$P_k=\pi r^2=\frac{\pi}{12}$
$S=2\pi r=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek:

Aby obliczyć pole i obwód okręgu musimy poznać promień r okręgu opisanego na trójkącie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć wysokość trójkąta równobocznego:

$(\frac{1}{2}a)^2+h^2=a^2\\ h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\\ h^2=\frac{3}{4}a^2\\ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a=1\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Środkowa w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością, a środkowe i wysokości trzech boków przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1. Możemy więc napisać:

$r=\frac{1}{3}h\\ r=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Obliczamy pole koła:

$P_k=\pi r^2\\ P=\pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{6})^2\\ P=\pi \cdot \frac{3}{36}\\ P=\frac{\pi}{12}$

Obliczamy obwód okręgu:

$S=2\pi r=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

Odpowiedź

$P=\frac{\pi}{12}, \ S=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

Zadania podobne

Zadanie - trójkąt wpisany w okrąg
Na trójkącie równobocznym o boku a=1 opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt w układzie współrzędnych
Dane są punkty A=(1,1), B=(4,-2). Znajdź punkt C, który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoboczny
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - trójkąt równoboczny
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania