Nauka » Matematyka » Wielokąt foremny

Zadanie - pole powierzchni wielokąta foremnego

W okrąg o promieniu R=10 wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$R=10\\ \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
$P=2a^2(1+\sqrt{2})\\ P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})$
$P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\\ P=200\sqrt{2}$
$P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}\\a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\\ R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego wyraża się wzorem:

$P=2a^2(1+\sqrt{2})$

gdzie a jest długością boku ośmiokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem:

$R=\frac{a}{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Dany jest promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym, dzięki czemu możemy obliczyć długość boku. To z kolei umożliwi nam obliczenie pola powierzchni ośmiokąta foremnego, które jest niezbędne przy szukaniu danych dotyczących sześciokąta, o którym mowa w zadaniu. Dany jest promień R:

$R=10\\ \frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

Możemy przystąpić do wyznaczenia pola ośmiokąta foremnego:

$a^2(1+\sqrt{2})\\ P=2(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2(1+\sqrt{2})\\ P=2\cdot \frac{10^2\cdot 2}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) \\ P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})$

Pozbywamy się niewymierności z mianownika

$P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\\ P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\\ P=\frac{400\cdot (2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2)}{2^4-2}\\ P=\frac{400\sqrt{2}}{2}\\ P=200\sqrt{2}$

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości jego boku, natomiast wzór na pole sześciokąta foremnego jest następujący:

$P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Znamy już pole powierzchni (oba pola obu figur mają być równe), więc wyznaczymy długość boku sześciokąta, która jest jednocześnie szukaną długością promienia okręgu.

$P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}/ \cdot 2\\ 3a^2\sqrt{3}=400\sqrt{2}/ :3\sqrt{3} \\a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\\ a=\sqrt{\frac{400\sqrt{6}}{9}}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt{\sqrt{6}}\\ a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\\ R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}$

Odpowiedź

$R_{sz}=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}$

Zadania podobne

Zadanie - pole sześciokąta foremnego
Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni sześciokąta foremnego
Pole sześciokąta foremnego jest równe $\sqrt{3}$ . Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni osmiokąta foremnego
Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162^o. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt zewnętrzny
Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole koła, pole kwadratu, kwadrat wpisany w koło
W koło o promieniu r wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.