Zadanie maturalne nr 13, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(ABC\), który ma większą miarę.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy oznaczenia na rysunku:
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy:
\(r=\frac{a+b-c}{2}\)
Z warunków zadania wynika, że \(r=\frac{c}{5}\). Stąd:
\(\frac{c}{5}=\frac{a+b-c}{2}\)
\(2c=5a+5b-5c\)
Wyznaczmy jeden z parametrów, na przykład b:
\(5b=2c-5a+5c\)
\(5b=7c-5a/:5\)
\(b=\frac{7}{5}c^2-a\)
Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa:
\(a^2+b^2=c^2\)
\(a^2+(\frac{7}{5}c^2-a)^2=c^2\)
\(a^2+\frac{49}{25}c^2-\frac{14}{5}ac+a^2-c^2=0\)
\(2a^2+\frac{24}{25}c^2-\frac{14}{5}ac=0/ \cdot 25\)
\(50a^2-70ac+24c^2=0/:2\)
\(25a^2-35ac+12c^2=0\)
Aby zbadać zależność między a i c rozwiążmy równanie kwadratowe traktując powyższe równanie jako równanie o zmiennej a z parametrem c. Wówczas:
\(\Delta=(-35c)^2-4\cdot 25\cdot 12c^2=1225c^2-1200c^2=25c^2\)
\(\sqrt{\Delta}=5c\)
\(a_1=\frac{35c-5c}{50}=\frac{3}{5}c\)
\(a_2=\frac{35c+5c}{50}=\frac{4}{5}c\)
Stąd:
\(b_1=\frac{7}{5}c-\frac{3}{5}c=\frac{4}{5}c\)
\(b_2=\frac{7}{5}c-\frac{4}{5}c=\frac{3}{5}c\)
Zauważmy, że zachodzi tu pewna symetria. W obu przypadkach otrzymujemy ten sam trójkąt prostokątny,a wynik zależy tylko od oznaczeń. Można więc przyjąć, że w każdym z przypadków mamy:
\(a=\frac{3}{5}c\)
\(b=\frac{4}{5}c\)
Stąd:
\(\sin{\alpha}=\frac{a}{c}=\frac{\frac{3}{5}}{c}=\frac{3}{5}\)
\(\sin{\beta}=\frac{b}{c}=\frac{\frac{4}{5}}{c}=\frac{4}{5}\)
Jeżeli jest dla Ciebie niejasne, że mogliśmy zastosować tutaj w poprzednim kroku symetrię oznaczeń, to policz sinus obu kątów dla \(a_1\) i \(a_2\) i odpowiednio \(b_1\) i \(b_2\), a otrzymasz ten sam wynik, zależny od tego, w jaki sposób oznaczymy kąty.
Kąty w tym trójkącie są ostre, więc ten z nich ma większą miarę, dla którego sinus przyjmuje większą wartość.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-07, ZAD-4838
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty \(A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3)\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.