Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt


Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3).


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Okrąg wpisany w trójkąt ma środek w punkcie przecięcia się dwusiecznych katów wewnętrznych tego trójkąta. Punkt ten jest wyznaczony już przez dwie dwusieczne. Jeżeli będziemy znać równania tych dwusiecznych, to rozwiązując ich układ równań, znajdziemy punkt ich przecięcia, a tym samym środek szukanego okręgu.

Sporządzamy szkic:

Okrąg wpisany w trójkąt

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu P(x,y) od prostej Ax+By+C=0, która wyrażona jest wzorem:

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Zajmujemy się teraz wyznaczeniem równania dwusiecznej a1 kąta wyznaczonego przez proste (odczytujemy z rysunku) y=0 i x=0:

Odległości dowolnego punktu P=(x,y) dwusiecznej kąta od prostej y=0 i prostej x=0 będzie więc taka sama, równa:

y=0\\ A_1=0, \ B_1=1, \ C_1=0 \\ x=0\\ A_2=1, \ B_2=0, \ C_2=0  \\ \frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}\\ |y|=|x|

Interesuje nas tylko I ćwiartka układu, gdzie x, y są dodatnie, możemy więc opuścić wartości bezwzględne.

y=x

Jest to równanie dwusiecznej a1.

W przypadku drugiej dwusiecznej wcześniej musimy znaleźć równanie prostej wyznaczonej przez punkty B, C. Podstawiamy współrzędne tych punktów do równania kierunkowego prostej:

B=(4,0), \ C=(0,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}0=4a+b\\3=0\cdot a+b \end{cases}\\ \begin{cases}0=4a+b\\b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}0=4a+3\\ b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}-4a=3/:(-4)\\b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}a=-\frac{3}{4}\\b=3 \end{cases}\\ y=-\frac{3}{4}x+3/\cdot 4\\ 4y=-3x+12\\ 3x+4y-12=0

Od razu sprowadziliśmy powyższe równanie do postaci występujące we wzorze na odległość punktu od prostej. Wyznaczamy równanie dwusiecznej

y=0\\ A_1=0, \ B_1=1, \ C_1=0 \\ 3x+4y-12=0\\ A_2=3, \ B_2=4, \ C_2=-12  \\ \frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|3x+4y-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\ |y|=\frac{|3x+4y-12|}{\sqrt{25}}\cdot 5\\ 5|y|=|3x+4y-12|

Interesuje nas teraz tylko przypadek, w którym y jest nieujemne (spójrz na rysunek) oraz wszystkie punkty na lewo od prostej wyznaczonej przez punkty B,C (czyli dla wartości 3x+4y-12 ujemnych, co oznacza wszystkie wartości y<-\frac{3}{4}x+3). Możemy pierwszą wartość bezwzględną opuścić bez zmiany znaku, drugą wartość bezwzględną możemy opuścić tylko wtedy, gdy zmienimy znak wyrażenia występującego pod nią, na przeciwny.

5|y|=|3x+4y-12|\\ 5y=-(3x+4y-12)\\ -5y-4y=3x-12\\ -9y=3x-12/:(-9)\\y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}

To jest drugie równanie dwusiecznej. Punkt przecięcia się wyznaczonych dwusiecznych znajdziemy rozwiązując układ równań:

\begin{cases}y=x\\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}/\cdot 3 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 3y=-x+4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 3y=-y+4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 4y=4/:4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ y=1 \end{cases}\\ \begin{cases}x=1\\ y=1 \end{cases}

ksiązki Odpowiedź

O=(1,1)

© medianauka.pl, 2011-02-19, ZAD-1175




Zadania podobne


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.