Nauka » Matematyka » Okrąg wpisany w trójkąt

Zadanie - okrąg wpisany w trójkąt

Treść zadania:

Wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt wyznaczony przez punkty $A=(0,0), B=(4,0), C=(0,3)$.

Rozwiązanie zadania

Okrąg wpisany w trójkąt ma środek w punkcie przecięcia się dwusiecznych katów wewnętrznych tego trójkąta. Punkt ten jest wyznaczony już przez dwie dwusieczne. Jeżeli będziemy znać równania tych dwusiecznych, to rozwiązując ich układ równań, znajdziemy punkt ich przecięcia, a tym samym środek szukanego okręgu.

Sporządzamy szkic:

Wszystkie punkty dwusiecznej kąta mają taką samą odległość od ramion kąta. Ponieważ ramiona kąta pokrywają się z równaniami danych prostych, problem sprowadza się do zastosowania wzoru na odległość punktu $P(x,y)$ od prostej $Ax+By+C=0$, która wyrażona jest wzorem:

$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Zajmujemy się teraz wyznaczeniem równania dwusiecznej $a_1$kąta wyznaczonego przez proste (odczytujemy z rysunku) $y=0$ i $x=0$:

Odległości dowolnego punktu $P=(x,y)$ dwusiecznej kąta od prostej $y=0$ i prostej $x=0$ będzie więc taka sama, równa:

$y=0$

$A_1=0, \ B_1=1, \ C_1=0 $

$x=0$

$A_2=1, \ B_2=0, \ C_2=0 $

$\frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|x|}{\sqrt{1^2+0^2}}$

$|y|=|x|$

Interesuje nas tylko I ćwiartka układu, gdzie $x, y$ są dodatnie, możemy więc opuścić wartości bezwzględne.

$y=x$

Jest to równanie dwusiecznej $a_1$.

W przypadku drugiej dwusiecznej wcześniej musimy znaleźć równanie prostej wyznaczonej przez punkty $B$, $C$. Podstawiamy współrzędne tych punktów do równania kierunkowego prostej:

$B=(4,0), \ C=(0,3)\\ y=ax+b\\ \begin{cases}0=4a+b\\3=0\cdot a+b \end{cases}\\ \begin{cases}0=4a+b\\b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}0=4a+3\\ b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}-4a=3/:(-4)\\b=3 \end{cases}\\ \begin{cases}a=-\frac{3}{4}\\b=3 \end{cases}\\ y=-\frac{3}{4}x+3/\cdot 4\\ 4y=-3x+12\\ 3x+4y-12=0$

Od razu sprowadziliśmy powyższe równanie do postaci występujące we wzorze na odległość punktu od prostej. Wyznaczamy równanie dwusiecznej

$y=0\\ A_1=0, \ B_1=1, \ C_1=0 $

$3x+4y-12=0$

$A_2=3, \ B_2=4, \ C_2=-12 $

$\frac{|y|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{|3x+4y-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$|y|=\frac{|3x+4y-12|}{\sqrt{25}}\cdot 5$

$5|y|=|3x+4y-12|$

Interesuje nas teraz tylko przypadek, w którym y jest nieujemne (spójrz na rysunek) oraz wszystkie punkty na lewo od prostej wyznaczonej przez punkty $B,C$ (czyli dla wartości $3x+4y-12$ ujemnych, co oznacza wszystkie wartości $y<-\frac{3}{4}x+3$. Możemy pierwszą wartość bezwzględną opuścić bez zmiany znaku, drugą wartość bezwzględną możemy opuścić tylko wtedy, gdy zmienimy znak wyrażenia występującego pod nią, na przeciwny.

$5|y|=|3x+4y-12|$

$5y=-(3x+4y-12)$

$-5y-4y=3x-12$

$-9y=3x-12/:(-9)$

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$

To jest drugie równanie dwusiecznej. Punkt przecięcia się wyznaczonych dwusiecznych znajdziemy rozwiązując układ równań:

$\begin{cases}y=x\\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}/\cdot 3 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 3y=-x+4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 3y=-y+4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ 4y=4/:4 \end{cases}\\ \begin{cases}y=x\\ y=1 \end{cases}\\ \begin{cases}x=1\\ y=1 \end{cases}$

Odpowiedź

$O=(1,1)$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Pokaż rozwiązanie zadania.