Zadanie maturalne nr 31, matura 2014


Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

Z założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie cięciwy AB.

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że:

|\angle{ACB}|=\frac{1}{2}\alpha

Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), zatem prosta CS zawiera dwusieczną kąta ACB. Z tego wynika, że:

|\angle{SCB}|=\frac{1}{2}\angle{ACB}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{1}{4}\alpha

Odcinki SC i SB to promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że

\beta=|\angle{SBC}|=|\angle{SCB}|=\frac{1}{4}\alpha

Powyższe kończy nasz dowód.


© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3454

Zadania podobne

kulkaZadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - geometria analityczna
Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręgu
Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016
A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaDlaczego często kroimy kiełbasę pod kątem?


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę
A. m = 116°
B. m = 114°
C. m = 112°
D. m = 110°



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2018

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek α+β=111° . Wynika stąd, że

Rysunek

  1. α = 74°
  2. α = 76°
  3. α = 70°
  4. α = 72°


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 29, matura 2018

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu
ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

rysunek

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √2 −1.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

rysunek
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2019

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.

rysunek

A. α=30°

B. α<30°

C. α>45°

D. α=45°



Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.