Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie maturalne nr 31, matura 2014


Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

Z założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie cięciwy AB.

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że:

|\angle{ACB}|=\frac{1}{2}\alpha

Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), zatem prosta CS zawiera dwusieczną kąta ACB. Z tego wynika, że:

|\angle{SCB}|=\frac{1}{2}\angle{ACB}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\alpha)=\frac{1}{4}\alpha

Odcinki SC i SB to promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że

\beta=|\angle{SBC}|=|\angle{SCB}|=\frac{1}{4}\alpha

Powyższe kończy nasz dowód.


© medianauka.pl, 2017-02-05, ZAD-3454





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.