Zadanie maturalne nr 29, matura 2018
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu
ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √2 −1.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:
Wiemy, że przekątna w kwadracie o boku długości a jest równa a√2. Można to obliczyć wprost z twierdzenia Pitagorasa.
Zatem:
\( |AM|=2\sqrt{2}\)
Jednocześnie
\( |AM|=|MN|+r\)
\( 2\sqrt{2}=|MN|+2\)
\( |MN|=2\sqrt{2}-2\)
\( |MN|=2(\sqrt{2}-1)\)
Na podstawie rysunku widać, że:
\( |MN|>2|BN|\)
\( 2(\sqrt{2}-1)>2|BN|/:2\)
\( (\sqrt{2}-1)>|BN|\)
\( |BN|<\sqrt{2}-1\)
Co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-01-07, ZAD-4618
Zadania podobne

Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.
Pokaż rozwiązanie zadania

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.
Pokaż rozwiązanie zadania

Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:

A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°
Pokaż rozwiązanie zadania

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :
A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°
Pokaż rozwiązanie zadania

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.
Pokaż rozwiązanie zadania

Pokaż rozwiązanie zadania

Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę
A. m = 116°
B. m = 114°
C. m = 112°
D. m = 110°

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek α+β=111° . Wynika stąd, że
- α = 74°
- α = 76°
- α = 70°
- α = 72°
Pokaż rozwiązanie zadania

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
Pokaż rozwiązanie zadania

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.
A. α=30°
B. α<30°
C. α>45°
D. α=45°
Pokaż rozwiązanie zadania