Zadanie maturalne nr 29, matura 2018
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu
ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √2 −1.
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:
Wiemy, że przekątna w kwadracie o boku długości a jest równa a√2. Można to obliczyć wprost z twierdzenia Pitagorasa.
Zatem:
\( |AM|=2\sqrt{2}\)
Jednocześnie
\( |AM|=|MN|+r\)
\( 2\sqrt{2}=|MN|+2\)
\( |MN|=2\sqrt{2}-2\)
\( |MN|=2(\sqrt{2}-1)\)
Na podstawie rysunku widać, że:
\( |MN|>2|BN|\)
\( 2(\sqrt{2}-1)>2|BN|/:2\)
\( (\sqrt{2}-1)>|BN|\)
\( |BN|<\sqrt{2}-1\)
Co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-01-07, ZAD-4618
Zadania podobne
Zadanie - kąt wpisany w okrągPrzez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - geometria analitycznaNa średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręguOblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :
A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 31, matura 2014Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.
Pokaż rozwiązanie zadania
Dlaczego często kroimy kiełbasę pod kątem?Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 15, matura 2017 (poziom podstawowy)Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę
A. m = 116°
B. m = 114°
C. m = 112°
D. m = 110°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 16, matura 2018Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek α+β=111° . Wynika stąd, że
- α = 74°
- α = 76°
- α = 70°
- α = 72°
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 14, matura 2019Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.
A. α=30°
B. α<30°
C. α>45°
D. α=45°
Pokaż rozwiązanie zadania