Zadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)


Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej dC kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

rysunek
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Kiedy można opisać okrąg na czworokącie? Okrąg można opisać na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie, który stanowi właśnie środek tego okręgu.

Zamiast rozpatrywać czworokąt KLMN rozpatrzmy dwa trójkąty wyznaczone przez punkty KLMN po to, aby skorzystać z własności symetrii osiowej (mamy trzy dwusieczne).

rysunek

Rozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna dA jest symetralną boku KL, a dwusieczna dC jest symetralną odcinka LM. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Czyli punkt wspólny dwusiecznych dA i dC (symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest odcinek OL.

Rozważmy teraz trójkąt LMN. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna dC jest symetralną boku LM. Analogicznie dwusieczna dB jest symetralną boku MN. Punkt wspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa wyżej i jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten sam okrąg.

Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.


© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4638

Zadania podobne

kulkaZadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - oś symetrii figury
Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.