Zadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Rozwiązanie zadania

Kiedy można opisać okrąg na czworokącie? Okrąg można opisać na takim wielokącie, którego symetralne boków przecinają się w jednym punkcie, który stanowi właśnie środek tego okręgu.

Zamiast rozpatrywać czworokąt KLMN rozpatrzmy dwa trójkąty wyznaczone przez punkty KLMN po to, aby skorzystać z własności symetrii osiowej (mamy trzy dwusieczne).

Rozważmy trójkąt KLM. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna d_A jest symetralną boku KL, a dwusieczna d_C jest symetralną odcinka LM. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Czyli punkt wspólny dwusiecznych d_A i d_C (symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest odcinek OL.

Rozważmy teraz trójkąt LMN. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna d_C jest symetralną boku LM. Analogicznie dwusieczna d_B jest symetralną boku MN. Punkt wspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa wyżej i jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. Zatem musi to być ten sam okrąg.

Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu. To kończy dowód.

© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4638

Zadania podobne

Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Znaleźć obraz trójkąta \(ABC\), gdzie \(A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2)\) w symetrii osiowej względem osi \(OX\) i \(OY\).

Znaleźć obraz krzywej \(y=3x^2-2x+1\) w symetrii osiowej względem osi \(OX\) i \(OY\).

Znaleźć obraz okręgu \((x+2)^2+(y-1)^2=4\) w symetrii osiowej względem osi \(OY\). Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Znaleźć oś symetrii trójkąta \(ABC\), gdzie \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3)\).