Symetria osiowa

Co to jest symetria osiowa?

Definicja

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetrię osiową względem prostej a oznaczamy następująco: . Prostą a nazywamy osią symetrii.

Przykład

Zapis czytamy następująco: "obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej a jest punkt P'." lub "P' jest symetryczny do P względem prostej a".

Zapis czytamy następująco: "obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej b jest figura f'." lub "figura f' jest symetryczna do figury f względem prostej b".

Przy danej prostej a oraz punkcie X, który nie należy do tej prostej, znajdziemy jego obraz w symetrii osiowej względem a.

Animacja

W powyższej animacji zaznaczono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez punkt X i jego obraz X'. Prosta ta (nazwijmy ją b) przecina oś symetrii (nazwijmy ten punkt P). Odległość punktu X od punktu przecięcia P zgodnie z definicją symetrii osiowej jest taka sama jak odległość obrazu X' od punktu P. Ponieważ $S_a(X)=X',\ S_a(X')=X,\ S_a(P)=P$ to , stąd wynika, że $|\angle APX|=|\angle APX'|$ , więc a⊥b.

Dwa punkty symetryczne względem prostej a leżą na prostej prostopadłej do a, po przeciwnych stronach prostej a i w równych od niej odległościach.

Złożenie dwóch symetrii osiowych względem tej samej prostej jest przekształceniem tożsamościowym. Przekształceniem odwrotnym do jest ta sama symetria osiowa.

W opisany wyżej sposób postępujemy, gdy szukamy obrazu figury geometrycznej w symetrii osiowej. Na poniższym filmie przedstawiono konstrukcję odcinka w symetrii osiowej.

Symetria osiowa - wzory

Przedstawiamy analityczne ujęcie symetrii osiowej.

W symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x'=-x\\y'=y$

W symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x'=x\\y'=-y$

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x²+1 w symetrii względem osi OX oraz OY.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OX otrzymujemy:

$y=x^2+1\\-y'=x'^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1$

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OY otrzymujemy:

$y=x^2+1\\y'=(-x')^2+1\\y'=x'^2+1$

W tym przypadku otrzymaliśmy tę samą krzywa. Oś OX jest więc osią symetrii tej krzywej.

Oś symetrii figury

Definicja

Oś symetrii figury F nazywamy taką prostą p, dla której obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej p jest ta sama figura:

Figurę, która jest symetryczna sama do siebie względem pewnej osi symetrii nazywamy figurą osiowo symetryczną.

Przykład

Na rysunku przedstawiono figury, która mają:

pierwsza - jedną oś symetrii,
druga - jedną oś symetrii,
trzecia - dwie osie symetrii,
czwarta - cztery osie symetrii.

Osie symetrii zostały zaznaczone przerywaną linią.

A oto inne przykłady:

Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii - są to proste prostopadłe do danej prostej i dodatkowo ta sama prosta.
Odcinek ma dwie osie symetrii - jedna jest jego symetralną, druga - prosta zawierająca dany odcinek.
Okrąg i koło mają nieskończenie wiele osi symetrii - wszystkie przechodzą przez środek okręgu (koła).

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Symetria osiowa

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz krzywej y=3x²-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć obraz okręgu (x+2)²+(y-1)²=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek).

rysunek
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.