Logo Media Nauka

Symetria osiowa

Co to jest symetria osiowa?

Definicja Definicja

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetrię osiową względem prostej a oznaczamy następująco: S_a. Prostą a nazywamy osią symetrii.

Przykład Przykład

Zapis S_a(P)=P' czytamy następująco: "obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej a jest punkt P'." lub "P' jest symetryczny do P względem prostej a".

Zapis S_b(f)=f' czytamy następująco: "obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej b jest figura f'." lub "figura f' jest symetryczna do figury f względem prostej b".

Teoria Przy danej prostej a oraz punkcie X, który nie należy do tej prostej, znajdziemy jego obraz w symetrii osiowej względem a.

Animacja

Animacja


Symetria osiowa

W powyższej animacji zaznaczono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez punkt X i jego obraz X'. Prosta ta (nazwijmy ją b) przecina oś symetrii (nazwijmy ten punkt P). Odległość punktu X od punktu przecięcia P zgodnie z definicją symetrii osiowej jest taka sama jak odległość obrazu X' od punktu P. Ponieważ S_a(X)=X',\ S_a(X')=X,\ S_a(P)=P to S_a(b)=b, stąd wynika, że |\angle APX|=|\angle APX'|, więc a⊥b.

Dwa punkty symetryczne względem prostej a leżą na prostej prostopadłej do a, po przeciwnych stronach prostej a i w równych od niej odległościach.

Złożenie dwóch symetrii osiowych względem tej samej prostej jest przekształceniem tożsamościowym. Przekształceniem odwrotnym do S_a jest ta sama symetria osiowa.

W opisany wyżej sposób postępujemy, gdy szukamy obrazu figury geometrycznej w symetrii osiowej. Na poniższym filmie przedstawiono konstrukcję odcinka w symetrii osiowej.


Symetria osiowa - wzory

Przedstawiamy analityczne ujęcie symetrii osiowej.

W symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=y

W symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem osi OX oraz OY.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OX otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=x'^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OY otrzymujemy:

y=x^2+1\\y'=(-x')^2+1\\y'=x'^2+1

W tym przypadku otrzymaliśmy tę samą krzywa. Oś OX jest więc osią symetrii tej krzywej.

Oś symetrii figury

Quizy
quiz
Quiz: Oś symetrii figury
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20

Definicja Definicja

Oś symetrii figury F nazywamy taką prostą p, dla której obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej p jest ta sama figura:

S_p(F)=F

Figurę, która jest symetryczna sama do siebie względem pewnej osi symetrii nazywamy figurą osiowo symetryczną.

Przykład Przykład

oś symetrii figury

Na rysunku przedstawiono figury, która mają:

  • pierwsza - jedną oś symetrii,
  • druga - jedną oś symetrii,
  • trzecia - dwie osie symetrii,
  • czwarta - cztery osie symetrii.

Osie symetrii zostały zaznaczone przerywaną linią.

A oto inne przykłady:

  • Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii - są to proste prostopadłe do danej prostej i dodatkowo ta sama prosta.
  • Odcinek ma dwie osie symetrii - jedna jest jego symetralną, druga - prosta zawierająca dany odcinek.
  • Okrąg i koło mają nieskończenie wiele osi symetrii - wszystkie przechodzą przez środek okręgu (koła).

© medianauka.pl, 2010-11-03, ART-1003





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Symetria osiowa

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - oś symetrii figury
Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Przekształcenie geometrycznePrzekształcenie geometryczne
Definicja przekształcenia geometrycznego, izometrycznego, tożsamościowego.
Symetria środkowaSymetria środkowa
Co to jest symetria środkowa względem punktu i środek symetrii figury?
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.



© Media Nauka 2008-2018 r.