Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Symetria osiowa

Definicja Definicja

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetrię osiową względem prostej a oznaczamy następująco: S_a. Prostą a nazywamy osią symetrii.

Przykład Przykład

Zapis S_a(P)=P' czytamy następująco: "obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej a jest punkt P'." lub "P' jest symetryczny do P względem prostej a".

Zapis S_b(f)=f' czytamy następująco: "obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej b jest figura f'." lub "figura f' jest symetryczna do figury f względem prostej b".

Teoria Przy danej prostej a oraz punkcie X, który nie należy do tej prostej, znajdziemy jego obraz w symetrii osiowej względem a.

Animacja

Animacja


Symetria osiowa

W powyższej animacji zaznaczono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez punkt X i jego obraz X'. Prosta ta (nazwijmy ją b) przecina oś symetrii (nazwijmy ten punkt P). Odległość punktu X od punktu przecięcia P zgodnie z definicją symetrii osiowej jest taka sama jak odległość obrazu X' od punktu P. Ponieważ S_a(X)=X',\ S_a(X')=X,\ S_a(P)=P to S_a(b)=b, stąd wynika, że |\angle APX|=|\angle APX'|, więc a⊥b.

Dwa punkty symetryczne względem prostej a leżą na prostej prostopadłej do a, po przeciwnych stronach prostej a i w równych od niej odległościach.

Złożenie dwóch symetrii osiowych względem tej samej prostej jest przekształceniem tożsamościowym. Przekształceniem odwrotnym do S_a jest ta sama symetria osiowa.

W opisany wyżej sposób postępujemy, gdy szukamy obrazu figury geometrycznej w symetrii osiowej. Na poniższym filmie przedstawiono konstrukcję odcinka w symetrii osiowej.

Zawartość tej strony wymaga nowszej wersji programu Adobe Flash Player.

Pobierz odtwarzacz Adobe Flash


Symetria osiowa - ujęcie analityczne

W symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=y

W symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem osi OX oraz OY.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OX otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=x'^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OY otrzymujemy:

y=x^2+1\\y'=(-x')^2+1\\y'=x'^2+1

W tym przypadku otrzymaliśmy tę samą krzywa. Oś OX jest więc osią symetrii tej krzywej.


© medianauka.pl, 2010-11-03, ART-1003






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.