Symetria osiowa

Co to jest symetria osiowa?

Definicja Definicja

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetrię osiową względem prostej a oznaczamy następująco: S_a. Prostą a nazywamy osią symetrii.

Przykład Przykład

Zapis S_a(P)=P' czytamy następująco: "obrazem punktu P w symetrii osiowej względem prostej a jest punkt P'." lub "P' jest symetryczny do P względem prostej a".

Zapis S_b(f)=f' czytamy następująco: "obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej b jest figura f'." lub "figura f' jest symetryczna do figury f względem prostej b".

Teoria Przy danej prostej a oraz punkcie X, który nie należy do tej prostej, znajdziemy jego obraz w symetrii osiowej względem a.

Animacja

Animacja


Symetria osiowa

W powyższej animacji zaznaczono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez punkt X i jego obraz X'. Prosta ta (nazwijmy ją b) przecina oś symetrii (nazwijmy ten punkt P). Odległość punktu X od punktu przecięcia P zgodnie z definicją symetrii osiowej jest taka sama jak odległość obrazu X' od punktu P. Ponieważ S_a(X)=X',\ S_a(X')=X,\ S_a(P)=P to S_a(b)=b, stąd wynika, że |\angle APX|=|\angle APX'|, więc a⊥b.

Dwa punkty symetryczne względem prostej a leżą na prostej prostopadłej do a, po przeciwnych stronach prostej a i w równych od niej odległościach.

Złożenie dwóch symetrii osiowych względem tej samej prostej jest przekształceniem tożsamościowym. Przekształceniem odwrotnym do S_a jest ta sama symetria osiowa.

W opisany wyżej sposób postępujemy, gdy szukamy obrazu figury geometrycznej w symetrii osiowej. Na poniższym filmie przedstawiono konstrukcję odcinka w symetrii osiowej.


Symetria osiowa - wzory

Przedstawiamy analityczne ujęcie symetrii osiowej.

W symetrii osiowej względem osi OY obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=y

W symetrii osiowej względem osi OX obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem osi OX oraz OY.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OX otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=x'^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii względem osi OY otrzymujemy:

y=x^2+1\\y'=(-x')^2+1\\y'=x'^2+1

W tym przypadku otrzymaliśmy tę samą krzywa. Oś OX jest więc osią symetrii tej krzywej.

Oś symetrii figury

Quizy
quiz
Quiz: Oś symetrii figury
Poziom: podstawowy
Liczba pytań: 20

Definicja Definicja

Oś symetrii figury F nazywamy taką prostą p, dla której obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej p jest ta sama figura:

S_p(F)=F

Figurę, która jest symetryczna sama do siebie względem pewnej osi symetrii nazywamy figurą osiowo symetryczną.

Przykład Przykład

oś symetrii figury

Na rysunku przedstawiono figury, która mają:

  • pierwsza - jedną oś symetrii,
  • druga - jedną oś symetrii,
  • trzecia - dwie osie symetrii,
  • czwarta - cztery osie symetrii.

Osie symetrii zostały zaznaczone przerywaną linią.

A oto inne przykłady:

  • Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii - są to proste prostopadłe do danej prostej i dodatkowo ta sama prosta.
  • Odcinek ma dwie osie symetrii - jedna jest jego symetralną, druga - prosta zawierająca dany odcinek.
  • Okrąg i koło mają nieskończenie wiele osi symetrii - wszystkie przechodzą przez środek okręgu (koła).


© medianauka.pl, 2010-11-03, ART-1003


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Symetria osiowa

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC, gdzie A=(-2,3), B=(2,4), C=(2,-2) w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=3x2-2x+1 w symetrii osiowej względem osi OX i OY.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria osiowa analitycznie
Znaleźć obraz okręgu (x+2)2+(y-1)2=4 w symetrii osiowej względem osi OY. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - oś symetrii figury
Znaleźć oś symetrii trójkąta ABC, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Przekształcenie geometrycznePrzekształcenie geometryczne
Definicja przekształcenia geometrycznego, izometrycznego, tożsamościowego.
Symetria środkowaSymetria środkowa
Co to jest symetria środkowa względem punktu i środek symetrii figury?
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.