Symetria środkowa

Co to jest symetria środkowa?

Definicja

Symetria środkowa względem punktu O nazywanego środkiem symetrii jest to przekształcenie płaszczyzny polegające na tym, że punkt O jest punktem niezmienniczym tego przekształcenia, a obrazem dowolnego innego punktu A jest punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka $\overline{AA'}$ .

Poniższa animacja ilustruje symetrię środkową na przykładzie szukania obrazu punktu A w tym przekształceniu.

Animacja

Symetrię osiową względem punktu O oznaczamy następująco: , natomiast zapis czytamy w następujący sposób: "Obrazem punktu A w symetrii środkowej jest punkt A'".

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako obrót o kąt półpelny

Symetria środkowa - wzory

A oto ujęcie analityczne symetrii środkowej.

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x'=-x\\y'=-y$

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x²+1 w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:

$y=x^2+1\\-y'=(-x')^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1$

Środek symetrii figury

Definicja

Jeżeli istnieje taki punkt O taki, że obrazem figury f w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura, to punkt ten nazywamy środkiem symetrii figury f, a figurę nazywamy środkowosymetryczną.

Przykład

Do figur środkowosymetrycznych należą:

okrąg - środkiem symetrii jest środek okręgu,
koło - środkiem symetrii jest środek koła,
prosta - środkiem symetrii jest dowolny punkt prostej,
kwadrat - środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

A oto inne przykłady figur środkowosymetrycznych

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Symetria środkowa

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz krzywej y=x³-x² w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dane są punkty M = (-2,1) i N = (-1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. K'=(2,-3/2)
B. K'=(2,3/2)
C. K'=(3/2,2)
D. K'=(3/2,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A=(0,4) i B=(2,2).

Wykres

Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres
funkcji g określonej wzorem

A. g(x)=x+4

B. g(x)=x-4

C. g(x)=-x-4

D. g(x)=-x+4

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Punkt B jest obrazem punktu A = (−3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa

A. 2√34

B. 8

C. √34

D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Przekształcenie geometryczne

Definicja przekształcenia geometrycznego, izometrycznego, tożsamościowego.

Symetria osiowa

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetria z poślizgiem

Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.

Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.

Symetralna odcinka

Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.