Symetria środkowa

Co to jest symetria środkowa?

Definicja Definicja

Symetria środkowa względem punktu O nazywanego środkiem symetrii jest to przekształcenie płaszczyzny polegające na tym, że punkt O jest punktem niezmienniczym tego przekształcenia, a obrazem dowolnego innego punktu A jest punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka \overline{AA'}.

Poniższa animacja ilustruje symetrię środkową na przykładzie szukania obrazu punktu A w tym przekształceniu.

Animacja

Animacja


Symetria środkowa

Teoria Symetrię osiową względem punktu O oznaczamy następująco: S_O, natomiast zapis S_O(A)=A' czytamy w następujący sposób: "Obrazem punktu A w symetrii środkowej jest punkt A'".

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

symetria środkowa

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako obrót o kąt półpelny

Symetria środkowa - wzory

A oto ujęcie analityczne symetrii środkowej.

Teoria W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=(-x')^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1

Środek symetrii figury

środek symetrii figury

Definicja Definicja

Jeżeli istnieje taki punkt O taki, że obrazem figury f w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura, to punkt ten nazywamy środkiem symetrii figury f, a figurę nazywamy środkowosymetryczną.

Przykład Przykład

Do figur środkowosymetrycznych należą:

  • okrąg - środkiem symetrii jest środek okręgu,
  • koło - środkiem symetrii jest środek koła,
  • prosta - środkiem symetrii jest dowolny punkt prostej,
  • kwadrat - środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

A oto inne przykłady figur środkowosymetrycznych

figury środkowosymetryczne


© medianauka.pl, 2010-11-21, ART-1021


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Symetria środkowa

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7).

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=x3-x2 w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 20, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są punkty M = (-2,1) i N = (-1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. K'=(2,-3/2)
B. K'=(2,3/2)
C. K'=(3/2,2)
D. K'=(3/2,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Przekształcenie geometrycznePrzekształcenie geometryczne
Definicja przekształcenia geometrycznego, izometrycznego, tożsamościowego.
Symetria osiowaSymetria osiowa
Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.