Logo Media Nauka

Symetria środkowa

Co to jest symetria środkowa?

Definicja Definicja

Symetria środkowa względem punktu O nazywanego środkiem symetrii jest to przekształcenie płaszczyzny polegające na tym, że punkt O jest punktem niezmienniczym tego przekształcenia, a obrazem dowolnego innego punktu A jest punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka \overline{AA'}.

Poniższa animacja ilustruje symetrię środkową na przykładzie szukania obrazu punktu A w tym przekształceniu.

Animacja

Animacja


Symetria środkowa

Teoria Symetrię osiową względem punktu O oznaczamy następująco: S_O, natomiast zapis S_O(A)=A' czytamy w następujący sposób: "Obrazem punktu A w symetrii środkowej jest punkt A'".

Poniższa ilustracja pokazuje symetrię środkową pewnej figury ABCDE.

symetria środkowa

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest złożeniem dwóch symetrii osiowych względem prostych prostopadłych przecinających się w punkcie O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie Twierdzenie

Symetria środkowa względem punktu O jest obrotem o kąt półpełny dookoła punktu O.

Ilustruje to poniższy rysunek:

symetria środkowa jako obrót o kąt półpelny

Symetria środkowa - wzory

A oto ujęcie analityczne symetrii środkowej.

Teoria W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x'=-x\\y'=-y

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu w symetrii środkowej otrzymujemy:

y=x^2+1\\-y'=(-x')^2+1/\cdot(-1)\\y'=-x'^2-1

Środek symetrii figury

środek symetrii figury

Definicja Definicja

Jeżeli istnieje taki punkt O taki, że obrazem figury f w symetrii środkowej względem tego punktu jest ta sama figura, to punkt ten nazywamy środkiem symetrii figury f, a figurę nazywamy środkowosymetryczną.

Przykład Przykład

Do figur środkowosymetrycznych należą:

  • okrąg - środkiem symetrii jest środek okręgu,
  • koło - środkiem symetrii jest środek koła,
  • prosta - środkiem symetrii jest dowolny punkt prostej,
  • kwadrat - środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

A oto inne przykłady figur środkowosymetrycznych

figury środkowosymetryczne

© medianauka.pl, 2010-11-21, ART-1021





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Symetria środkowa

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli A=(-2,3), B=(5,3, C=(0,7).

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa analitycznie
Znaleźć obraz krzywej y=x3-x2 w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 20, matura 2015 (poziom podstawowy)
Dane są punkty M = (-2,1) i N = (-1,3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. K'=(2,-3/2)
B. K'=(2,3/2)
C. K'=(3/2,2)
D. K'=(3/2,-2)

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Przekształcenie geometrycznePrzekształcenie geometryczne
Definicja przekształcenia geometrycznego, izometrycznego, tożsamościowego.
Symetria osiowaSymetria osiowa
Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.



© Media Nauka 2008-2018 r.