Przekształcenie geometryczne

Definicja

Przekształcenie geometryczne. Jeżeli każdemu punktowi P figury f został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt P', to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury f. Punkt P' nazywamy obrazem punktu P. Zbiór punktów P' stanowi obraz f' figury f w danym przekształceniu. Jeżeli K jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

$K(P)=p'\\K(f)=f'$

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu P (figury f) w przekształceniu K jest punkt P' (figura f').
Zapis P' czytamy "P prim".

Animacja

Definicja

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury f przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu P jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt P jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Przekształcenie izometryczne

Definicja

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie

Izometria zachowuje:

współliniowość punktów,
uporządkowanie punktów na prostej,
wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka - odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury - brzeg figury, wnętrza figury - wnętrze figury, zewnętrza figury - zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

prostopadłość,
odległość punktu od figury.

Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Wykaz przekształceń

Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych w matematyce przekształceń.

nazwa przekształcenia	Uwagi
Rzut równoległy na prostą	przekształcenie nieizometryczne
Jednokładność	przekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowa	przekształcenie izometryczne
Symetria środkowa	przekształcenie izometryczne
Translacja	przekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiem	przekształcenie izometryczne
Obrót	przekształcenie izometryczne

Przekształcenie odwrotne

Definicja

Przekształcenie K₂ nazywamy odwrotnym do przekształcenia K₁, gdy dla każdego punktu P figury f prawdziwe jest zdanie:

$K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'$

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia K oznaczamy następująco: $K^{-1}$ (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt P za pomocą zdefiniowanego przekształcenia K₁, to otrzymamy pewien obraz tego punktu P'. Jeżeli obrazem punktu P' w przekształceniu K₂ będzie punkt P, to przekształcenie K₂ jest przekształceniem odwrotnym do K₁. Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt - mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

$K^{-1}K(P)=P$

Składanie przekształceń

Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną f można poddać pewnemu przekształceniu P₁, otrzymując obraz f' potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu P₂, otrzymując kolejny obraz f'' i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) f do f'' nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:

lub

Animacja

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:

$P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}$

Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.

Twierdzenie

Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Przekształcenie geometryczne

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Symetria osiowa

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.

Symetria środkowa

Co to jest symetria środkowa względem punktu i środek symetrii figury?

Symetria z poślizgiem

Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.

Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.

Symetralna odcinka

Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.