Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie geometryczne. Jeżeli każdemu punktowi P figury f został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt P', to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury f. Punkt P' nazywamy obrazem punktu P. Zbiór punktów P' stanowi obraz f' figury f w danym przekształceniu. Jeżeli K jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

K(P)=p'\\K(f)=f'

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu P (figury f) w przekształceniu K jest punkt P' (figura f').
Zapis P' czytamy "P prim".

Animacja

Animacja


Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury f przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu P jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt P jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Przekształcenie izometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Twierdzenie Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie Twierdzenie

Izometria zachowuje:

  • współliniowość punktów,
  • uporządkowanie punktów na prostej,
  • wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka - odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury - brzeg figury, wnętrza figury - wnętrze figury, zewnętrza figury - zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

  • prostopadłość,
  • odległość punktu od figury.

Twierdzenie Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Wykaz przekształceń

Teoria Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych w matematyce przekształceń.

nazwa przekształceniaUwagi
Rzut równoległy na prostąprzekształcenie nieizometryczne
Jednokładnośćprzekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowaprzekształcenie izometryczne
Symetria środkowaprzekształcenie izometryczne
Translacjaprzekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiemprzekształcenie izometryczne
Obrótprzekształcenie izometryczne

Przekształcenie odwrotne

Definicja Definicja

Przekształcenie K2 nazywamy odwrotnym do przekształcenia K1, gdy dla każdego punktu P figury f prawdziwe jest zdanie:

K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia K oznaczamy następująco: K^{-1} (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt P za pomocą zdefiniowanego przekształcenia K1, to otrzymamy pewien obraz tego punktu P'. Jeżeli obrazem punktu P' w przekształceniu K2 będzie punkt P, to przekształcenie K2 jest przekształceniem odwrotnym do K1. Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Animacja


Przekształcenie odwrotne

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt - mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

K^{-1}K(P)=P

Składanie przekształceń

Teoria Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną f można poddać pewnemu przekształceniu P1, otrzymując obraz f' potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu P2, otrzymując kolejny obraz f'' i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) f do f'' nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:

P_2(P_1(f))=f''

lub

P_2P_1(f)=f''


Animacja

Animacja


Złożenie przekształceń

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:

P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}

Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.

Twierdzenie Twierdzenie

Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:

P_3[P_2P_1(f)]=(P_3P_2)P_1(f)


© medianauka.pl, 2010-10-31, ART-999







Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Przekształcenie geometryczne

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Symetria osiowaSymetria osiowa
Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.
Symetria środkowaSymetria środkowa
Co to jest symetria środkowa względem punktu i środek symetrii figury?
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.



© Media Nauka 2008-2018 r.