Przekształcenie geometryczne
Definicja
Przekształcenie geometryczne. Jeżeli każdemu punktowi P figury f został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt P', to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury f. Punkt P' nazywamy obrazem punktu P. Zbiór punktów P' stanowi obraz f' figury f w danym przekształceniu. Jeżeli K jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:
Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu P (figury f) w przekształceniu K jest punkt P' (figura f').
Zapis P' czytamy "P prim".

Animacja

Definicja
Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury f przyporządkowuje ten sam punkt.
Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu P jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt P jest punktem stałym w tym przekształceniu.
Przekształcenie izometryczne
Definicja
Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.
Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).
Aksjomat
Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.
Twierdzenie
Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.
Twierdzenie
Izometria zachowuje:
- współliniowość punktów,
- uporządkowanie punktów na prostej,
- wypukłość figury.
Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka - odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.
Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury - brzeg figury, wnętrza figury - wnętrze figury, zewnętrza figury - zewnętrze figury.
Izometria zachowuje także:
- prostopadłość,
- odległość punktu od figury.
Twierdzenie
Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.
Wykaz przekształceń
Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych w matematyce przekształceń.
nazwa przekształcenia | Uwagi |
Rzut równoległy na prostą | przekształcenie nieizometryczne |
Jednokładność | przekształcenie nieizometryczne |
Symetria osiowa | przekształcenie izometryczne |
Symetria środkowa | przekształcenie izometryczne |
Translacja | przekształcenie izometryczne |
Symetria z poślizgiem | przekształcenie izometryczne |
Obrót | przekształcenie izometryczne |
Przekształcenie odwrotne
Definicja
Przekształcenie K2 nazywamy odwrotnym do przekształcenia K1, gdy dla każdego punktu P figury f prawdziwe jest zdanie:
Przekształcenie odwrotne do przekształcenia K oznaczamy następująco: (zapis nie oznacza potęgi).
Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt P za pomocą zdefiniowanego przekształcenia K1, to otrzymamy pewien obraz tego punktu P'. Jeżeli obrazem punktu P' w przekształceniu K2 będzie punkt P, to przekształcenie K2 jest przekształceniem odwrotnym do K1. Spójrz na poniższą animację.
Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt - mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.
Składanie przekształceń
Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną f można poddać pewnemu przekształceniu P1, otrzymując obraz f' potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu P2, otrzymując kolejny obraz f'' i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) f do f'' nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:
lub

Animacja

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:
Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.
Twierdzenie
Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.Inne zagadnienia z tej lekcji
Symetria osiowa

Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.
Symetria z poślizgiem

Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
© medianauka.pl, 2010-10-31, A-999