Przekształcenie geometryczne

Oto definicja przekształcenia geometrycznego.

Jeżeli każdemu punktowi \(P\) figury \(f\) został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt \(P'\), to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury \(f\). Punkt \(P'\) nazywamy obrazem punktu \(P\). Zbiór punktów \(P'\) stanowi obraz \(f'\) figury \(f\) w danym przekształceniu.

Jeżeli \(K\) jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

\(K(P)=P'\)

\(K(f)=f'\)

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu \(P\) (figury \(f\)) w przekształceniu \(K\) jest punkt \(P'\) (figura \(f'\)).
Zapis \(P'\) czytamy „\(P\) prim”.

Animacja

Przekształcenie tożsamościowe

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury \(f\) przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu \(P\) jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt \(P\) jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Izometria

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie

Izometria zachowuje:

• współliniowość punktów,
• uporządkowanie punktów na prostej,
• wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii obrazem prostej jest prosta, odcinka — odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury — brzeg figury, wnętrza figury — wnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

• prostopadłość,
• odległość punktu od figury.

Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Rodzaje przekształceń

Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych i częściej używanych w matematyce przekształceń.

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie \(K_2\) nazywamy odwrotnym do przekształcenia \(K_1\), gdy dla każdego punktu \(P\) figury \(f\) prawdziwe jest zdanie:

\(K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'\)

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia \(K\) oznaczamy następująco: \(K^{-1}\) (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt \(P\) za pomocą zdefiniowanego przekształcenia \(K_1\), to otrzymamy pewien obraz tego punktu \(P'\). Jeżeli obrazem punktu \(P'\) w przekształceniu \(K_2\) będzie punkt \(P\), to przekształcenie \(K_2\) jest przekształceniem odwrotnym do \(K_1\). Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt — mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

\(K^{-1}K(P)=P\)

Składanie przekształceń

Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną \(f\) można poddać pewnemu przekształceniu \(P_1\), otrzymując obraz \(f'\), potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu \(P_2\), otrzymując kolejny obraz \(f''\) i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) \(f\) do \(f''\), nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:

\(P_2(P_1(f))=f''\) lub \(P_2P_1(f)=f''\)

Animacja

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:

\(P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}\)

Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.

Twierdzenie

Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:

\(P_3[P_2P_1(f)]=(P_3P_2)P_1(f)\)

Ćwiczenia

Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.

📝1📝2🗂️3

Wszystkie ćwiczenia z tego działu →

Zaloguj się, a z rozwiązanych jajek wyklują się dziobaki. Bez logowania Twoja populacja nie przetrwa po opuszczeniu strony.

Zaloguj się

W tej lekcji czeka 1 złote jajo — otworzysz je w Planie Premium. W Premium otwierasz wszystkie ćwiczenia z dziobakiem w serwisie.

Odblokuj złote jaja

Zadania z rozwiązaniami

📑 Spis treści modułu: Przekształcenia geometryczne

Przekształcenia geometryczne

1

Przekształcenie geometryczne

1

Rzut równoległy na prostą

Rzut prostokątny

2

Rzut równoległy na płaszczyznę

2

Symetria osiowa

1

Symetria środkowa

Symetria z poślizgiem

Symetralna odcinka

2

Translacja

Obrót

1

Jednokładność

2

Figury przystające

2

Podobieństwo i figury podobne

📖 Zadania

Zadania — przekształcenia geometryczne

W tym module czeka 14 złotych jaj z 37 ćwiczeń z dziobakiem. W Planie Premium otworzysz je wszystkie — w każdym kursie.

Odblokuj złote jaja 60 zł za 12 miesięcy (równowartość 5 zł/mies.) · bez automatycznego odnawiania · Mam już konto

© medianauka.pl, 2010-10-31, A-999/872
Data aktualizacji artykułu: 2026-05-12