Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie geometryczne. Jeżeli każdemu punktowi P figury f został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt P', to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury f. Punkt P' nazywamy obrazem punktu P. Zbiór punktów P' stanowi obraz f' figury f w danym przekształceniu. Jeżeli K jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

K(P)=p'\\K(f)=f'

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu P (figury f) w przekształceniu K jest punkt P' (figura f').
Zapis P' czytamy "P prim".

Animacja

Animacja


Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury f przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu P jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt P jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Przekształcenie izometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Twierdzenie Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie Twierdzenie

Izometria zachowuje:

  • współliniowość punktów,
  • uporządkowanie punktów na prostej,
  • wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka - odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury - brzeg figury, wnętrza figury - wnętrze figury, zewnętrza figury - zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

  • prostopadłość,
  • odległość punktu od figury.

Twierdzenie Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Wykaz przekształceń

Teoria Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych w matematyce przekształceń.

nazwa przekształceniaUwagi
Rzut równoległy na prostąprzekształcenie nieizometryczne
Jednokładnośćprzekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowaprzekształcenie izometryczne
Symetria środkowaprzekształcenie izometryczne
Translacjaprzekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiemprzekształcenie izometryczne
Obrótprzekształcenie izometryczne

Przekształcenie odwrotne

Definicja Definicja

Przekształcenie K2 nazywamy odwrotnym do przekształcenia K1, gdy dla każdego punktu P figury f prawdziwe jest zdanie:

K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia K oznaczamy następująco: K^{-1} (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt P za pomocą zdefiniowanego przekształcenia K1, to otrzymamy pewien obraz tego punktu P'. Jeżeli obrazem punktu P' w przekształceniu K2 będzie punkt P, to przekształcenie K2 jest przekształceniem odwrotnym do K1. Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Animacja


Przekształcenie odwrotne

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt - mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

K^{-1}K(P)=P

Składanie przekształceń

Teoria Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną f można poddać pewnemu przekształceniu P1, otrzymując obraz f' potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu P2, otrzymując kolejny obraz f'' i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) f do f'' nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:

P_2(P_1(f))=f''

lub

P_2P_1(f)=f''


Animacja

Animacja


Złożenie przekształceń

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:

P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}

Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.

Twierdzenie Twierdzenie

Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:

P_3[P_2P_1(f)]=(P_3P_2)P_1(f)



© medianauka.pl, 2010-10-31, ART-999


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Przekształcenie geometryczne

zadanie-ikonka Zadanie - symetria środkowa
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Symetria osiowaSymetria osiowa
Symetria osiowa względem prostej a jest to nietożsamościowa izometria płaszczyzny, w której każdy punkt prostej a jest punktem stałym.
Symetria środkowaSymetria środkowa
Co to jest symetria środkowa względem punktu i środek symetrii figury?
Symetria z poślizgiemSymetria z poślizgiem
Symetria z poślizgiem to złożenie translacji i symetrii osiowej względem prostej równoległej do wektora translacji.
Dwusieczna kątaDwusieczna kąta
Dwusieczna kąta jest to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która leży na osi symetrii kąta i leży w obszarze tego kąta.
Symetralna odcinkaSymetralna odcinka
Symetralna odcinka jest to oś symetrii tego odcinka prostopadła do niego.


Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.