Logo Serwisu Media Nauka

Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie geometryczne. Jeżeli każdemu punktowi P figury f został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt P', to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury f. Punkt P' nazywamy obrazem punktu P. Zbiór punktów P' stanowi obraz f' figury f w danym przekształceniu. Jeżeli K jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

K(P)=p'\\K(f)=f'

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu P (figury f) w przekształceniu K jest punkt P' (figura f').
Zapis P' czytamy "P prim".

Animacja

Animacja


Przekształcenie geometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury f przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu P jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt P jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Przekształcenie izometryczne

Definicja Definicja

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Twierdzenie Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie Twierdzenie

Izometria zachowuje:

  • współliniowość punktów,
  • uporządkowanie punktów na prostej,
  • wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka - odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury - brzeg figury, wnętrza figury - wnętrze figury, zewnętrza figury - zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

  • prostopadłość,
  • odległość punktu od figury.

Twierdzenie Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Wykaz przekształceń

Teoria Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych w matematyce przekształceń.

nazwa przekształceniaUwagi
Rzut równoległy na prostąprzekształcenie nieizometryczne
Jednokładnośćprzekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowaprzekształcenie izometryczne
Symetria środkowaprzekształcenie izometryczne
Translacjaprzekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiemprzekształcenie izometryczne
Obrótprzekształcenie izometryczne

© medianauka.pl, 2010-10-31, ART-999





Inne zagadnienia z tej lekcji




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.