Rzut równoległy na prostą

Dane są dwie proste nierównoległe. Jedna z nich a - rzutnia i druga b, której kierunek ustala tak zwany kierunek rzutu. Obie proste tworzą układ rzutowania.
Jeżeli punkt P jest dowolnym punktem płaszczyzny, to przeprowadzamy przez punkt P prostą równoległą do prostej wyznaczającej kierunek rzutu, nazywaną prostą rzutującą. Prosta przecina rzutnię w punkcie P'. Punkt P' nazywamy rzutem punktu P na prostą a w kierunku b. Ilustruje o poniższa animacja.

Animacja

Rzut równoległy przekształca płaszczyznę w prostą. Każdy punkt rzutni jest punktem stałym tego przekształcenia. Każdy punkt ma co tylko jeden rzut. O takim przekształceniu mówimy, że jest jednoznaczne. Jednak każdemu punktowi rzutni odpowiada nieskończenie wiele punktów na płaszczyźnie (przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne).

Aksjomat o zachowaniu porządku punktów prostej w rzucie równoległym
Jeśli prosta AB nie jest równoległa do kierunku rzutu i punkt X leży na prostej AB między punktami A, B, to obraz X' punktu X leży na rzutni między obrazami A', B' punktów A, B.

Bezpośrednimi wnioskami z powyższego aksjomatu są następujące zdania:

• rzutem odcinka jest odcinek lub punkt,
• rzutem półprostej jest półprosta lub punkt,
• rzutem prostej jest prosta lub punkt,
• uporządkowanie pewnej prostej można przenieść na inną prostą za pomocą rzutu.

Obrazem odcinka, półprostej i prostej w rzucie jest punkt w przypadku gdy figury te są równoległe do kierunku rzutu.

Twierdzenie

W rzucie równoległym rzut środka odcinka jest środkiem rzutu tego odcinka.

Twierdzenie

W rzucie równoległym rzuty wektorów równych są wektorami równymi, rzuty odcinków równych i równoległych są odcinkami równymi.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz trójkąta ABC na podstawę trójkąta AB w kierunku prostej wyznaczonej przez bok BC.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz okręgu i trapezu na prostą a w kierunku prostej k.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obrazem kwadratu w rzucie równoległym na prostą a jest jego przekątna. Znaleźć kierunek rzutowania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz punktu P=(0,2) w rzucie równoległym na oś OX w kierunku prostej y=2x-3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Rzut prostokątny

Rzut prostokątny jest to rzut równoległy na prostą, w którym kierunek rzutu jest prostopadły do rzutni.

Rzut równoległy na płaszczyznę

Rzut równoległy na płaszczyznę jest to jedno z przekształceń geometrycznych przestrzeni w płaszczyznę.

© medianauka.pl, 2010-10-31, ART-1000