Rzut równoległy na prostą
Dane są dwie proste nierównoległe. Jedna z nich \(a\) — rzutnia i druga \(b\), której kierunek ustala tak zwany kierunek rzutu. Obie proste tworzą układ rzutowania.
Jeżeli punkt \(P\) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to przeprowadzamy przez punkt \(P\) prostą równoległą do prostej wyznaczającej kierunek rzutu, nazywaną prostą rzutującą. Prosta przecina rzutnię w punkcie \(P'\). Punkt \(P'\) nazywamy rzutem punktu P na prostą a w kierunku b. Ilustruje to poniższa animacja.
Animacja
Rzut równoległy przekształca płaszczyznę w prostą. Każdy punkt rzutni jest punktem stałym tego przekształcenia. Każdy punkt ma co tylko jeden rzut. O takim przekształceniu mówimy, że jest jednoznaczne. Jednak każdemu punktowi rzutni odpowiada nieskończenie wiele punktów na płaszczyźnie (przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne).
Aksjomat o zachowaniu porządku punktów prostej w rzucie równoległym.
Jeśli prosta \(AB\) nie jest równoległa do kierunku rzutu i punkt \(X\) leży na prostej \(AB\) między punktami \(A, B\), to obraz \(X'\) punktu \(X\) leży na rzutni między obrazami \(A', B'\) punktów \(A, B\).
Bezpośrednimi wnioskami z powyższego aksjomatu są następujące zdania:
- Rzutem odcinka jest odcinek lub punkt.
- Rzutem półprostej jest półprosta lub punkt.
- Rzutem prostej jest prosta lub punkt.
- Uporządkowanie pewnej prostej można przenieść na inną prostą za pomocą rzutu.
Obrazem odcinka, półprostej i prostej w rzucie jest punkt w przypadku gdy figury te są równoległe do kierunku rzutu.
Twierdzenie 1
W rzucie równoległym rzut środka odcinka jest środkiem rzutu tego odcinka.
Twierdzenie 2
W rzucie równoległym rzuty wektorów równych są wektorami równymi, rzuty odcinków równych i równoległych są odcinkami równymi.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz okręgu i trapezu na prostą \(a\) w kierunku prostej \(k\).
Zadanie nr 2.
Obrazem kwadratu w rzucie równoległym na prostą \(a\) jest jego przekątna. Znaleźć kierunek rzutowania.
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz punktu \(P=(0,2)\) w rzucie równoległym na oś \(OX\) w kierunku prostej \(y=2x-3\).
Powiązane materiały
Przekształcenie geometryczne
Rzut prostokątny
Rzut równoległy na płaszczyznę
Rzut równoległy© medianauka.pl, 2010-10-31, A-1000
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-15