Rzut równoległy na prostą

Dane są dwie proste nierównoległe. Jedna z nich \(a\) — rzutnia i druga \(b\), która ustala tak zwany kierunek rzutu. Obie proste tworzą układ rzutowania.

Jeżeli punkt \(P\) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to przeprowadzamy przez punkt \(P\) prostą równoległą do prostej wyznaczającej kierunek rzutu, nazywaną prostą rzutującą. Prosta przecina rzutnię w punkcie \(P'\). Punkt \(P'\) nazywamy rzutem punktu P na prostą a w kierunku b. Ilustruje to poniższa animacja.

Animacja

Rzut równoległy

Rzut równoległy przekształca płaszczyznę w prostą. Każdy punkt rzutni jest punktem stałym tego przekształcenia. Każdy punkt ma dokładnie tylko jeden rzut. O takim przekształceniu mówimy, że jest jednoznaczne. Jednak każdemu punktowi rzutni odpowiada nieskończenie wiele punktów na płaszczyźnie (przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne).

Aksjomat o zachowaniu porządku punktów prostej w rzucie równoległym.

Jeśli prosta \(AB\) nie jest równoległa do kierunku rzutu i punkt \(X\) leży na prostej \(AB\) między punktami \(A, B\), to obraz \(X'\) punktu \(X\) leży na rzutni między obrazami \(A', B'\) punktów \(A, B\).

porządek punktów na prostej w rzucie równoległym

Bezpośrednimi wnioskami z powyższego aksjomatu są następujące zdania:

Rzutem odcinka jest odcinek lub punkt.
Rzutem półprostej jest półprosta lub punkt.
Rzutem prostej jest prosta lub punkt.
Uporządkowanie pewnej prostej można przenieść na inną prostą za pomocą rzutu.

Obrazem odcinka, półprostej i prostej w rzucie jest punkt w przypadku gdy figury te są równoległe do kierunku rzutu.

Twierdzenie 1

W rzucie równoległym rzut środka odcinka jest środkiem rzutu tego odcinka.

rzut równoległy - twierdzenie

Twierdzenie 2

W rzucie równoległym rzuty wektorów równych są wektorami równymi, rzuty odcinków równych i równoległych są odcinkami równymi dla wektorów i odcinków nierównoległych do kierunku rzutu.