Jednokładność

Definicja

Jednokładnością o środku O i skali $k\neq 0$ jest to przekształcenie płaszczyzny, które dowolnemu punktowi A przyporządkowuje taki punkt A', że $\overline{OA'}=k\cdot \overline{OA}$ .

Przykład

Poniższy rysunek przedstawia jednokładność figury f w skali k=1/2.

Cechy jednokładności o środku O:

jednokładność o skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym (to znaczy, że obrazem figury w takim przekształceniu jest ta sama figura),
jednokładność o skali k=-1 jest symetrią środkową,
przekształcenie odwrotne do jednokładności o skali k jest jednokładność o skali 1/k,
złożenie dwóch jednokładności o skalach k₁, k₂ jest jednokładnością o skali k₁k₂, to oznacza, że złożenie jednokładności nie zależy od kolejności przekształceń,
jednokładność nie jest przekształceniem izometrycznym (jest izometrią tylko w przypadku, gdy k=1 lub k=-1),
obrazem wektora $\overline{OA'}=k\cdot \overline{OA}$ w jednokładności o skali k jest wektor równy wektorowi $k\vec{w}$ ,
jednokładność zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów,
jednokładność zachowuje równoległość prostych,
jednokładność przekształca kąt w kąt przystający do danego kąta i kąt skierowany w równy mu kąt skierowany,
jednokładność zachowuje stosunek odcinków,
obrazem środka odcinka w jednokładności jest środek odcinka,
obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.

Jednokładność - wzory

A oto ujęcie analityczne jednokładności.

W jednokładności o środku O (początek układu współrzędnych)i różnej od zera skali k obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x'=kx \\ y'=ky$

oraz

$x=\frac{1}{k}x' \\ y=\frac{1}{k}y'$

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x²+1 w jednokładności o skali $x=\frac{1}{k}x' \\ y=\frac{1}{k}y'$ .

Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu otrzymujemy:

$y=x^2+1\\ \frac{1}{\frac{1}{3}}y'=[\frac{1}{\frac{1}{3}}x']^2+1\\ 3y'=(3x')^2+1\\ 3y'=9x'^2+1/:3 \\ y'=3x'^2+\frac{1}{3}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali k=2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali $k=-\frac{1}{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz odcinka $\overline{AB}$ , gdzie A=(-1,2), B=(-2,-3) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali k=3. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz krzywej

w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali $k=\frac{1}{2}$ . Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x² + y² −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Translacja

Translacja o wektor translacji jest to jedno z przekształceń geometrycznych płaszczyzny.

Obrót

co to jest obrót dookoła punktu O o kąt skierowany?

Figury przystające

Co to są figury przystające i jakie są cechy przystawania figur?

Podobieństwo i figury podobne

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k.