Jednokładność
Definicja
Jednokładnością o środku O i skali jest to przekształcenie płaszczyzny, które dowolnemu punktowi A przyporządkowuje taki punkt A', że
.
Przykład
Poniższy rysunek przedstawia jednokładność figury f w skali k=1/2.

Cechy jednokładności o środku O:
- jednokładność o skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym (to znaczy, że obrazem figury w takim przekształceniu jest ta sama figura),
- jednokładność o skali k=-1 jest symetrią środkową,
- przekształcenie odwrotne do jednokładności o skali k jest jednokładność o skali 1/k,
- złożenie dwóch jednokładności o skalach k1, k2 jest jednokładnością o skali k1k2, to oznacza, że złożenie jednokładności nie zależy od kolejności przekształceń,
- jednokładność nie jest przekształceniem izometrycznym (jest izometrią tylko w przypadku, gdy k=1 lub k=-1),
- obrazem wektora
w jednokładności o skali k jest wektor równy wektorowi
,
- jednokładność zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów,
- jednokładność zachowuje równoległość prostych,
- jednokładność przekształca kąt w kąt przystający do danego kąta i kąt skierowany w równy mu kąt skierowany,
- jednokładność zachowuje stosunek odcinków,
- obrazem środka odcinka w jednokładności jest środek odcinka,
- obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.
Jednokładność - wzory
A oto ujęcie analityczne jednokładności.
W jednokładności o środku O (początek układu współrzędnych)i różnej od zera skali k obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

oraz

Przykład
Znajdziemy równanie krzywej y=x2+1 w jednokładności o skali .
Korzystając z powyższych zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazu otrzymujemy:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali k=2.Zadanie nr 2.
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz odcinka
Zadanie nr 4.
Znaleźć obraz krzywej

Zadanie nr 5 — maturalne.
Prosta o równaniu x + y −10 = 0 przecina okrąg o równaniu x2 + y2 −8x − 6y + 8 = 0 w punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k = −3.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Podobieństwo i figury podobne

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k.
© medianauka.pl, 2010-12-04, ART-1039