Translacja o wektor

Co to jest translacja o wektor? Oto definicja translacji.

Translacja (przesunięcie równoległe) o wektor translacji \(\vec{w}\) jest to przekształcenie geometryczne płaszczyzny, w którym każdemu punktowi \(P\) przyporządkowujemy taki punkt \(P'\), że \(\vec{PP'}=\vec{w}\).

Poniższa animacja ilustruje translację.

Translacja

Twierdzenie 1

Translacja jest przekształceniem izometrycznym, w którym obrazem dowolnego wektora jest wektor równy wektorowi translacji.

Twierdzenie 2

Przekształceniem odwrotnym do translacji o wektor \(\vec{w}\) jest translacja o wektor \(-\vec{w}\).

Twierdzenie 3

Złożeniem translacji o wektor \(\vec{w_1}\) oraz translacji o wektor \(\vec{w_2}\) jest translacja o wektor \(\vec{w_1}+\vec{w_2}\).

Translacja jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie 4

Translację o wektor \(\vec{w}\) można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych, których osie są:

Translacja — wzory

Poniżej przedstawiamy ujęcie analityczne translacji.

Obrazem punktu \(P=(x,y)\) w translacji o wektor \(\vec{w}=[a,b]\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Między współrzędnymi zachodzi zależność:

\(x=x'-a\)

\(y=y'-b\)

Punkt \(P'\) ma zatem współrzędne: \(P'=(x+a,y+b)\).

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej \(y=x^2+1\) w translacji o wektor \(\vec{w}=[1,-1]\).

Między współrzędnymi zachodzi zgodnie z tym, co napisano wyżej zależność:

\(x=x'-1\)

\(y=y'-(-1)=y'+1\)

Podstawiamy wyznaczone wartości zmiennych do równania krzywej i otrzymujemy obraz krzywej w tak zdefiniowanej translacji:

\(y=x^2+1\)

\(y'+1=(x'-1)^2+1\)

\(y'=x'^2-2x'+1+1-1\)

\(y'=x'^2-2x'+1\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz kwadratu \(ABCD\), gdzie \(A=(1,1), B=(2,3), C=(4,2), D=(3,0)\) w translacji o wektor \(\vec{w}=[-2,-1]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz krzywej \(y=-x^2+x-1\) w translacji o wektor \(\vec{w}=[-2,1]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obrazem punktu \(P=(7,-3)\) w translacji o wektor \(\vec{w}\) jest punkt \(P'=(-3,7)\). Znaleźć współrzędne wektora translacji.

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-11-28, A-1032
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-16



©® Media Nauka 2008-2023 r.