Translacja

Co to jest translacja o wektor?

Definicja

Translacja (przesunięcie równoległe) o wektor translacji $\vec{w}$ jest to przekształcenie geometryczne płaszczyzny, w którym każdemu punktowi P przyporządkowujemy taki punkt P', że $\vec{PP'}=\vec{w}$ .

Poniższa animacja ilustruje translację.

Własności translacji

Twierdzenie

Translacja jest przekształceniem izometrycznym, w którym obrazem dowolnego wektora jest wektor równy wektorowi translacji.

Twierdzenie

Przekształceniem odwrotnym do translacji o wektor $\vec{w}$ jest translacja o wektor - $\vec{w}$ .

Twierdzenie

Złożeniem translacji o wektor $\vec{w_1}$ oraz translacji o wektor $\vec{w_2}$ jest translacja o wektor $\vec{w_1}+\vec{w_2}$ .

Translacja jako złożenie dwóch symetrii osiowych

Twierdzenie

Translację o wektor $\vec{w}$ można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii osiowych, których osie są:

równoległe między sobą i prostopadłe do wektora translacji,
odległe od siebie o połowę długości wektora translacji,
według zwrotu wektora translacji pierwsza oś poprzedza drugą.

Translacja - wzory

Poniżej przedstawiamy ujęcie analityczne translacji.

Obrazem punktu P=(x,y) w translacji o wektor $\vec{w}[a,b]$ jest punkt P'=(x',y'). Między współrzędnymi zachodzi zależność:

$x=x'-a\\ y=y'-b$

Punkt P' ma zatem współrzędne: P'=(x+a,y+b).

Przykład

Znajdziemy równanie krzywej y=x²+1 w translacji o wektor $\vec{w}=[1,-1]$ .

Między współrzędnymi zachodzi zgodnie z tym co napisano wyżej zależność:

$x=x'-1\\ y=y'-(-1)=y'+1$

Podstawiamy wyznaczone wartości zmiennych do równania krzywej i otrzymujemy obraz krzywej w tak zdefiniowanej translacji:

$y=x^2+1\\ y'+1=(x'-1)^2+1\\ y'=x'^2-2x'+1+1-1\\ y'=x'^2-2x'+1$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz kwadratu ABCD, gdzie A=(1,1), B=(2,3), C=(4,2), D=(3,0) w translacji o wektor $\vec{w}=[-2,-1]$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz krzywej

w translacji o wektor $\vec{w}=[-2,1]$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obrazem punktu P=(7,-3) w translacji o wektor $\vec{w}$ jest punkt P'=(-3,7). Znaleźć współrzędne wektora translacji.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Obrót

co to jest obrót dookoła punktu O o kąt skierowany?

Jednokładność

Co to jest jednokładność o środku O i skali k?

Figury przystające

Co to są figury przystające i jakie są cechy przystawania figur?

Podobieństwo i figury podobne

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k.