Obrót

Co to jest obrót w geometrii?

Definicja

Obrót płaszczyzny dookoła punktu O o kąt skierowany $\angle{\vec{\alpha}}$ (nazywanym kątem obrotu) jest to przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi O przyporządkowujemy punkt O, punktowi A, który jest różny od punktu O, taki punkt A', że |OA|=|OA'|. Punkt O nazywamy środkiem obrotu.

Animacja

Przykład

Na poniższym rysunku został pokazany obrót pewnej figury dookoła punktu O o kąt skierowany prosty.

Twierdzenie

Złożenie symetrii osiowych S_bS_a względem prostych a i b przecinających się w punkcie O pod kątem skierowanym $\angle{\vec{\alpha}}$ , którego wierzchołek jest punktem O, pierwsze ramię leży na prostej a, drugie ramię leży na prostej b jest obrotem płaszczyzny dookoła punktu O o kąt 2 $\angle{\vec{\alpha}}$ .

Obrót - wzory

A oto ujęcie analityczne obrotu na płaszczyźnie.

W obrocie dookoła punktu O (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany $\angle{\vec{\alpha}}$ obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}$

oraz

$x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}$

Przykład

Znajdziemy równanie prostej y=x+1 w obrocie o kąt 90°.

Wiemy, że sin90°=1 oraz cos90°=0. Mamy więc:

$y=x+1\\ -x'\sin{90^o}+y'\cos{90^o}=x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}+1\\ -x'\cdot 1+0=0+y'\cdot 1+1\\ y'=-x'-1$

Zatem obrazem prostej y=x+1 w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt prosty jest prosta y=-x-1.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz punktu P=(2,4) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 30^o.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz krzywej y=x³ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 90^o.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz prostej y=-2x+6 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 60^o.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz wykresu funkcji y=|x| w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 45^o.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Translacja

Translacja o wektor translacji jest to jedno z przekształceń geometrycznych płaszczyzny.

Jednokładność

Co to jest jednokładność o środku O i skali k?

Figury przystające

Co to są figury przystające i jakie są cechy przystawania figur?

Podobieństwo i figury podobne

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k.