Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Obrót

Definicja Definicja

Obrót płaszczyzny dookoła punktu O o kąt skierowany\angle{\vec{\alpha}} (nazywanym kątem obrotu) jest to przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi O przyporządkowujemy punkt O, punktowi A, który jest różny od punktu O, taki punkt A', że |OA|=|OA'|. Punkt O nazywamy środkiem obrotu.

Animacja

Animacja



Obrót

Przykład Przykład

Na poniższym rysunku został pokazany obrót pewnej figury dookoła punktu O o kąt skierowany prosty.

Obrót

Twierdzenie Twierdzenie

Złożenie symetrii osiowych SbSa względem prostych a i b przecinających się w punkcie O pod kątem skierowanym\angle{\vec{\alpha}}, którego wierzchołek jest punktem O, pierwsze ramię leży na prostej a, drugie ramię leży na prostej b jest obrotem płaszczyzny dookoła punktu O o kąt 2\angle{\vec{\alpha}}.

Obrót jako złożenie symetrii osiowych

Obrót - ujęcie analityczne

Teoria W obrocie dookoła punktu O (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany\angle{\vec{\alpha}} obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}

oraz

x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}

Przykład Przykład

Znajdziemy równanie prostej y=x+1 w obrocie o kąt 90°.

Wiemy, że sin90°=1 oraz cos90°=0. Mamy więc:

y=x+1\\ -x'\sin{90^o}+y'\cos{90^o}=x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}+1\\ -x'\cdot 1+0=0+y'\cdot 1+1\\ y'=-x'-1

Zatem obrazem prostej y=x+1 w obrocie wokół początku układu współrzędnych o kąt prosty jest prosta y=-x-1.


© medianauka.pl, 2010-11-29, ART-1035






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - obrót
Znaleźć obraz punktu P=(2,4) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 30o.

zadanie-ikonka Zadanie - Obrót dookoła punktu
Znaleźć obraz krzywej y=x3 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 90o.

zadanie-ikonka Zadanie - obrót, znajdowanie obrazu prostej
Znaleźć obraz prostej y=-2x+6 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 60o.

zadanie-ikonka Zadanie - obrót
Znaleźć obraz wykresu funkcji y=|x| w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 45o.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.