Zadanie - Obrót dookoła punktu
Treść zadania:
Znaleźć obraz krzywej \(y=x^3\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(90°\).
Rozwiązanie zadania
W obrocie dookoła punktu \(O\) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle \vec{\alpha}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:
\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \)
\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}\)
oraz
\(x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \)
\(y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}\)
Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:
\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}= x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}=x'\cdot 0+y'\cdot 1=y'\)
\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{90^o}+y'\cos{90^o}=-x'\cdot 1+y'\cdot 0=-x\)
Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:
\(y=x^3\)
\(-x'=y'^3\)
\(y'=\sqrt[3]{-x'}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-03-20, ZAD-1248
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz punktu \(P=(2,4)\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(30°\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć obraz prostej \(y=-2x+6\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(60°\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz wykresu funkcji \(y=|x|\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(45°\).