Zadanie - Obrót dookoła punktu

Znaleźć obraz krzywej y=x³ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 90^o.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}=y'\\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{90^o}+y'\cos{90^o}=-x'$
$y=x^3\\ -x'=y'^3\\ y'=\sqrt[3]{-x'}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W obrocie dookoła punktu O (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany $\angle \vec{\alpha}$ obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}$

oraz

$x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}$

Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{90^o}+y'\sin{90^o}=x'\cdot 0+y'\cdot 1=y'\\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{90^o}+y'\cos{90^o}=-x'\cdot 1+y'\cdot 0=-x$

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

$y=x^3\\ -x'=y'^3\\ y'=\sqrt[3]{-x'}$

Odpowiedź

$y'=\sqrt[3]{-x'}$

Zadania podobne

Zadanie - obrót
Znaleźć obraz punktu P=(2,4) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 30^o.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obrót, znajdowanie obrazu prostej
Znaleźć obraz prostej y=-2x+6 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 60^o.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - obrót
Znaleźć obraz wykresu funkcji y=|x| w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 45^o.

Pokaż rozwiązanie zadania