Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - obrót, znajdowanie obrazu prostej


Znaleźć obraz prostej y=-2x+6 w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 60o.


ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W obrocie dookoła punktu O (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \angle \vec{\alpha} obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}

oraz

x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}

Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:

x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{60^o}+y'\sin{60^o}=x'\cdot \frac{1}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{60^o}+y'\cos{60^o}=-x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+y'\cdot \frac{1}{2}

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

y=-2x+6\\ -x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}y'=-2(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y')+6\\ \frac{1}{2}y'=-x'-\sqrt{3}y'+\frac{\sqrt{3}}{2}x'+6\\ \frac{1}{2}y'+\sqrt{3}y'=\frac{\sqrt{3}}{2}x'-x'+6/\cdot 2\\ y'+2\sqrt{3}y'=\sqrt{3}x'-2x'+12\\ (1+2\sqrt{3})y'=(\sqrt{3}-2)x'+12/:(1+2\sqrt{3})\\ y'=\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x'+\frac{12}{1+2\sqrt{3}}

ksiązki Odpowiedź

y'=\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x'+\frac{12}{1+2\sqrt{3}}

© medianauka.pl, 2011-03-20, ZAD-1249





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.