Zadanie - obrót, znajdowanie obrazu prostej

Treść zadania:

Znaleźć obraz prostej \(y=-2x+6\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(60°\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W obrocie dookoła punktu \(O\) (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany \(\angle \vec{\alpha}\) obrazem pewnego punktu \(P=(x,y)\) jest punkt \(P'=(x',y')\). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \)

\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}\)

oraz

\(x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \)

\(y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}\)

Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:

\(x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{60^o}+y'\sin{60^o}=x'\cdot \frac{1}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{60^o}+y'\cos{60^o}=-x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+y'\cdot \frac{1}{2}\)

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

\(y=-2x+6\)

\(-x'\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}y'=-2(\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y')+6\)

\(\frac{1}{2}y'=-x'-\sqrt{3}y'+\frac{\sqrt{3}}{2}x'+6\)

\(\frac{1}{2}y'+\sqrt{3}y'=\frac{\sqrt{3}}{2}x'-x'+6/\cdot 2\)

\(y'+2\sqrt{3}y'=\sqrt{3}x'-2x'+12\)

\((1+2\sqrt{3})y'=(\sqrt{3}-2)x'+12/:(1+2\sqrt{3})\)

\(y'=\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x'+\frac{12}{1+2\sqrt{3}}\)

ksiązki Odpowiedź

\(y'=\frac{\sqrt{3}-2}{1+2\sqrt{3}}x'+\frac{12}{1+2\sqrt{3}}\)

© medianauka.pl, 2011-03-20, ZAD-1249

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć obraz punktu \(P=(2,4)\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(30°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć obraz krzywej \(y=x^3\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(90°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć obraz wykresu funkcji \(y=|x|\) w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt \(45°\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.