Zadanie - obrót

Znaleźć obraz wykresu funkcji y=|x| w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt 45^o.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

W obrocie dookoła punktu O (początek układu współrzędnych) o kąt skierowany $\angle \vec{\alpha}$ obrazem pewnego punktu P=(x,y) jest punkt P'=(x',y'). Zachodzą zależności między współrzędnymi punktu i jego obrazem:

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha} \\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}$

oraz

$x'=x\cos{\alpha}-y\sin{\alpha} \\ y'=x\sin{\alpha}+y\cos{\alpha}$

Zatem zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu jest następująca:

$x=x'\cos{\alpha}+y'\sin{\alpha}=x'\cos{45^o}+y'\sin{45^o}=x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=-x'\sin{\alpha}+y'\cos{\alpha}=-x'\sin{45^o}+y'\cos{45^o}=-x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+y'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Mamy tutaj do czynienia z wartością bezwzględną. Zgodnie z jej definicją mamy:

$x=\begin{cases} x, \ dla \ x\geq 0 \\ -x, \ dla \ x<0 \end{cases}$

Rozpatrujemy więc dwa przypadki:

$1) x\geq 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\geq 0/:\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x'+y'\geq 0\\ y'\geq -x$

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

$y=|x|=x\\ -x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}y'=\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'/:\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -x'+y'=x'+y'\\-2x'=0/:(-2)\\x'=0$

Aby lepiej zrozumieć powyższy warunek i rachunki warto sporządzić szkic rysunku.

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment wykresu funkcji y=|x| dla x większych lub równych zero. Obrazu prostej szukamy tylko w dla $y'\geq -x'$ (obszar zakreskowany), a więc jest to prosta x=0 tylko w zakreskowanym obszarze

Rozpatrujemy drugi przypadek:

$2) x<0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'< 0/:\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x'+y'<0\\ y'<-x'$

Podstawiamy te zależności do naszego wzoru:

$y=|x|=-x\\ -x'\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}y'=-\frac{\sqrt{2}}{2}x'-\frac{\sqrt{2}}{2}y'/:\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -x'+y'=-x'-y'\\-2y'=0/:(-2)\\y'=0$

Aby lepiej zrozumieć powyższy warunek i rachunki warto sporządzić drugi szkic rysunku.

Kolorem niebieskim zaznaczono fragment wykresu funkcji y=|x| dla x mniejszych od zera. Obrazu prostej szukamy tylko w dla (obszar zakreskowany), a więc jest to prosta y=0 tylko w zakreskowanym obszarze