Zadanie maturalne nr 12, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Prosta o równaniu \(x+y−10=0\) przecina okrąg o równaniu \(x^2+y^2−8x−6y+8=0\) w punktach \(K\) i \(L\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy \(KL\). Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku \(S\) i skali \(k=−3\).
Rozwiązanie zadania
Zaczniemy od wyznaczenia punktów przecięcia prostej z okręgiem, czyli współrzędnych punktów K i L. Wystarczy wyznaczyć x z równani aprostej i podstawić do równania okręgu.
\(x=10-y\)
\( x^2+ y^2−8x−6y+8=0\)
\( (10-y)^2+ y^2−8(10-y)−6y+8=0\)
\( 100-20y+y^2+y^2−80+8y−6y+8=0\)
\(2y^2-18y+28=0/:2\)
\(y^2-9y+14=0\)
\(\Delta=81-56=25\)
\(y_1=\frac{9-5}{2}=2\)
\(y_2=\frac{9+5}{2}=7\)
Ponieważ \(x=10-y\), to:
\(x_1=10-2=8\)
\(x_2=10-7=3\)
Mamy współrzędne punktów, które wyznaczają cięciwę:
\(K=(8,2), L=(3,7)\)
Współzędne środka odcinka KL wyznaczymy wyliczajkąc średniąarytmetyczną odpowiednich współzędnych:
\(S=(\frac{8+3}{2},\frac{2+7}{2})=(\frac{11}{2},\frac{9}{2})\)
Aby znaleźć obraz okręgu w jednokładności względem punktu S, przekształćmy równanie okręgu do innej postaci:
\(x^2+ y^2−8x−6y+8=0\)
\(x^2−8x+(16-16)+y^2−6y+(9-9)+8=0\)
\((x-4)^2+(y-3)^2=17\)
\((x-4)^2+(y-3)^2=(\sqrt{17})^2\)
Środek okręgu O ma współzędne \(O=(4,3)\), a promień \(r=\sqrt{17}\)
Obrazem promienia w jednokładności o skali -3 jest:
\(r'=3r=3\sqrt{17}\)
Musimy znaleźć tylko obraz punktu O, a będziemy mieć już równanie obrazu okręgu. Skorzystamy z rachunku wektorowego.
W jednokładności o środku S i skali k=-3 obrazem wektora \(\overrightarrow{SO}\) jest wektor \(\overrightarrow{SO'}\), przy czym:
\(\overrightarrow{SO'}=-3\overrightarrow{SO}\)
Niech współrzędne punktu obrazu środka wynoszą \(O'=(a,b)\), wówczas współrzędne powyższych wektorów są równe:
\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=-3\cdot[4-\frac{11}{2},3-\frac{9}{2}]\)
\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=-3\cdot[-\frac{3}{2},-\frac{3}{2}]\)
\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=[\frac{9}{2},\frac{9}{2}]\)
Zatem:
\(a-\frac{11}{2}=\frac{9}{2}\)
\(b-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\)
\(a=10, b=9\)
Zatem równanie szukanego okręgu jest następujące: \((x-10)^2+(y-9)^2=(3\sqrt{17})^2\).
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-13, ZAD-4784
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali \(k=2\).
Zadanie nr 2.
Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali \(k=-\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć obraz odcinka \(\overline{AB}\), gdzie \(A=(-1,2), B=(-2,-3)\) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali \(k=3\). Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.
Zadanie nr 4.
Znaleźć obraz krzywej \(y=x^2\) w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali \(k=\frac{1}{2}\). Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.