Zadanie maturalne nr 12, matura 2020 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Zaczniemy od wyznaczenia punktów przecięcia prostej z okręgiem, czyli współrzędnych punktów K i L. Wystarczy wyznaczyć x z równani aprostej i podstawić do równania okręgu.

\(x=10-y\)

\( x^2+ y^2−8x−6y+8=0\)

\( (10-y)^2+ y^2−8(10-y)−6y+8=0\)

\( 100-20y+y^2+y^2−80+8y−6y+8=0\)

\(2y^2-18y+28=0/:2\)

\(y^2-9y+14=0\)

\(\Delta=81-56=25\)

\(y_1=\frac{9-5}{2}=2\)

\(y_2=\frac{9+5}{2}=7\)

Ponieważ \(x=10-y\), to:

\(x_1=10-2=8\)

\(x_2=10-7=3\)

Mamy współrzędne punktów, które wyznaczają cięciwę:

\(K=(8,2), L=(3,7)\)

Współzędne środka odcinka KL wyznaczymy wyliczajkąc średniąarytmetyczną odpowiednich współzędnych:

\(S=(\frac{8+3}{2},\frac{2+7}{2})=(\frac{11}{2},\frac{9}{2})\)

Aby znaleźć obraz okręgu w jednokładności względem punktu S, przekształćmy równanie okręgu do innej postaci:

\(x^2+ y^2−8x−6y+8=0\)

\(x^2−8x+(16-16)+y^2−6y+(9-9)+8=0\)

\((x-4)^2+(y-3)^2=17\)

\((x-4)^2+(y-3)^2=(\sqrt{17})^2\)

Środek okręgu O ma współzędne \(O=(4,3)\), a promień \(r=\sqrt{17}\)

Obrazem promienia w jednokładności o skali -3 jest:

\(r'=3r=3\sqrt{17}\)

Musimy znaleźć tylko obraz punktu O, a będziemy mieć już równanie obrazu okręgu. Skorzystamy z rachunku wektorowego.

W jednokładności o środku S i skali k=-3 obrazem wektora \(\overrightarrow{SO}\) jest wektor \(\overrightarrow{SO'}\), przy czym:

\(\overrightarrow{SO'}=-3\overrightarrow{SO}\)

Niech współrzędne punktu obrazu środka wynoszą \(O'=(a,b)\), wówczas współrzędne powyższych wektorów są równe:

\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=-3\cdot[4-\frac{11}{2},3-\frac{9}{2}]\)

\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=-3\cdot[-\frac{3}{2},-\frac{3}{2}]\)

\([a-\frac{11}{2}, b-\frac{9}{2}]=[\frac{9}{2},\frac{9}{2}]\)

Zatem:

\(a-\frac{11}{2}=\frac{9}{2}\)

\(b-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\)

\(a=10, b=9\)

Zatem równanie szukanego okręgu jest następujące: \((x-10)^2+(y-9)^2=(3\sqrt{17})^2\).

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-03-13, ZAD-4784

Zadania podobne