Nauka » Matematyka » Okrąg i koło

Zadanie - geometria analityczna

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Mamy dwa trójkąty prostokątne, których obwody należy obliczyć. Podział promienia w stosunku 1/2 oznacza, że jeżeli promień ma długość 6, to punkt A dzieli go na dwie części, jedna o długości 2, druga o długości 6-2=4. Mamy następujące dane.

$|ON|=r=6\\ |OA|=4\\ |AN|=2\\ |AM|=10\\ h=?\\ x=?\\ y=?$

Gdy poznamy długość odcinka h, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy pozostałe niewiadome. Aby wyznaczyć h, korzystamy z twierdzenia, które mówi że odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

$h=\sqrt{x_sy_s}$

Mamy więc:

$h=\sqrt{|AM|\cdot |AN|}=\sqrt{2\cdot 10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Do wyznaczenia x oraz y skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Wyznaczamy y:

$y^2=|AM|^2+h^2\\ y^2=10^2+(2\sqrt{5})^2\\ y^2=100+20\\ y^2=120\\ y=\sqrt{120}\\ y=2\sqrt{30}$

Wyznaczamy x:

$x^2=|AN|^2+h^2\\ x^2=2^2+(2\sqrt{5})^2\\ x^2=4+20\\ x^2=24\\ x=\sqrt{24}\\ x=2\sqrt{6}$

Możemy teraz wyznaczyć obwody obu trójkątów:

$L_{MAB}=|MA|+y+h=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=|NA|+y+h=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}$

Odpowiedź

$L_{MAB}=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}$

Zadania podobne

Zadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręgu
Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016

A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2014
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

Pokaż rozwiązanie zadania

Dlaczego często kroimy kiełbasę pod kątem?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2017 (poziom podstawowy)
Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę
A. m = 116°
B. m = 114°
C. m = 112°
D. m = 110°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2018

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są
oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β , spełniają warunek α+β=111° . Wynika stąd, że

Rysunek

α = 74°
α = 76°
α = 70°
α = 72°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 29, matura 2018

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu
ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

rysunek

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √2 −1.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC|>|BC|. Dwusieczna d_C kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_A kąta BAC, punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_C kąta
ACB, a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej d_B kąta ABC (zobacz rysunek).

rysunek
Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2019

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α.

rysunek

A. α=30°

B. α<30°

C. α>45°

D. α=45°

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.