Nauka » Matematyka » Okrąg i koło

Zadanie - geometria analityczna

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt A w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt A.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy rysunek.

Mamy dwa trójkąty prostokątne, których obwody należy obliczyć. Podział promienia w stosunku 1/2 oznacza, że jeżeli promień ma długość 6, to punkt A dzieli go na dwie części, jedna o długości 2, druga o długości 6-2=4. Mamy następujące dane.

$|ON|=r=6\\ |OA|=4\\ |AN|=2\\ |AM|=10\\ h=?\\ x=?\\ y=?$

Gdy poznamy długość odcinka h, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy pozostałe niewiadome. Aby wyznaczyć h, korzystamy z twierdzenia, które mówi że odcinek prostopadłej opuszczonej z dowolnego punktu okręgu na średnicę jest średnią geometryczną odcinków, na które ta prostopadła dzieli średnicę.

$h=\sqrt{x_sy_s}$

Mamy więc:

$h=\sqrt{|AM|\cdot |AN|}=\sqrt{2\cdot 10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Do wyznaczenia x oraz y skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Wyznaczamy y:

$y^2=|AM|^2+h^2\\ y^2=10^2+(2\sqrt{5})^2\\ y^2=100+20\\ y^2=120\\ y=\sqrt{120}\\ y=2\sqrt{30}$

Wyznaczamy x:

$x^2=|AN|^2+h^2\\ x^2=2^2+(2\sqrt{5})^2\\ x^2=4+20\\ x^2=24\\ x=\sqrt{24}\\ x=2\sqrt{6}$

Możemy teraz wyznaczyć obwody obu trójkątów:

$L_{MAB}=|MA|+y+h=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=|NA|+y+h=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}$

Odpowiedź

$L_{MAB}=10+2\sqrt{30}+2\sqrt{5}\\ L_{NAB}=2+2\sqrt{6}+2\sqrt{5}$

Zadania podobne

Zadanie - kąt wpisany w okrąg
Przez punkty A, B na okręgu o promieniu r=2,5 poprowadzono średnicę. Punkt D leży na okręgu tak, że |BD|=4. Oblicz odległość |AD|.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - kąt wpisany w okrąg i kąt środkowy okręgu
Oblicz miarę kąta α, zaznaczonego na rysunku.
Katy w okręgu

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 7, matura 2016 (poziom podstawowy)
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa:
Zadanie maturalne - 2016

A. 91°
B. 72,5°
C. 18°
D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2015 (poziom podstawowy)
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa :

A. 5°
B. 10°
C. 20°
D. 30°

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2014
Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
wzór

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

Pokaż rozwiązanie zadania