Pole wycinka kołowego

Twierdzenie

Pole wycinka kołowego o kącie środkowym $\alpha$ (kąt wyrażony w stopniach) i promieniu r jest równe:

$P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2$

Przykład

Obliczyć pole wycinka kołowego przedstawionego na rysunku o promieniu 2.

Kąt środkowy wycinka kołowego ma miarę 45° (zobacz rysunek). Zatem pole wycinka kołowego obliczamy następująco:

$P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi r^2 = \frac{45}{360}\cdot \pi \cdot 2^2=\frac{1}{8}\cdot 4\pi=\frac{1}{2}\pi$

Pole wycinka pierścienia kołowego

Twierdzenie

Pole wycinka pierścienia kołowego o kącie środkowym $\alpha ^o$ (kąt wyrażony w stopniach) i promieniu małym a i dużym b jest równe:

$P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi (b^2-a^2)$

Pole wycinka pierścienia kołowego - zadanie

Przykład

Obliczyć pole wycinka pierścienia kołowego przedstawionego na rysunku o promieniu 2 i 1.

Kąt środkowy wycinka pierścienia kołowego ma miarę 45° (zobacz rysunek). Zatem pole wycinka pierścienia kołowego obliczamy następująco:

$P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi (b^2-a^2) = \frac{45}{360}\cdot \pi \cdot (2^2-1^2)=\\ =\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot (4-1)=\frac{1}{8}\pi\cdot 3=\frac{3}{8}\pi$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jakie pole zakreśla na zegarze sekundnik w czasie 1 sekundy, jeżeli długość tej wskazówki jest równa 20 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Jaką część należy wyciąć z pierścienia kołowego, aby jego pole było równe $\frac{\pi}{8}$ ?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Punkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma miarę 60° (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2022, matematyka

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

A. 6π

B. 9π

C. 10π

D. 12π

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Pierścień kołowy

Pierścień kołowy jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A jest nie mniejsza niż a i nie większa niż b.

Łuk okręgu

Łuk okręgu i długość łuku okręgu.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.