Pole równoległoboku

Jak się liczy pole równoległoboku? Jaki jest wzór na pole powierzchni równoległoboku? Możliwości jest kilka.

Twierdzenie

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

gdzie a, b są długościami boków trapezu, a h₁, h₂ wysokościami opuszczonymi na odpowiednie boki (patrz rysunek). To podstawowy wzór.

Przykład

Obliczyć pole równoległoboku przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dane są podstawy a=6 oraz b=3 oraz jedna z wysokości h=5,5, która jest opuszczona na bok o długości 3. Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole równoległoboku:

$P=b\cdot h_2=3\cdot 5,5=16,5$

Inne wzory na pole równoległoboku

Wzór na pole równoległoboku z przekątnymi:

Twierdzenie

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2\cdot \sin{\gamma}$

gdzie d₁, d₂ są długościami przekątnych równoległoboku, a $\gamma$ jest kątem między tymi przekątnymi (patrz na rysunek).

Twierdzenie

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

$P=ab\cdot \sin{\alpha}$

gdzie a, b są długościami boków równoległoboku, a $\alpha$ jest kątem między tymi bokami (patrz na rysunek).

Twierdzenie

Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=|W|$

Obwód równoległoboku

Twierdzenie

Obwód równoległoboku wyraża się wzorem:

gdzie a, b są długościami różnych boków równoległoboku.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jedna z wysokości w równoległoboku o polu 10 ma długość 2, druga z wysokości ma długość 4. Oblicz obwód tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach 5 cm i 6 cm ma miarę równą 30^o. Oblicz pole tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa . Oblicz pole powierzchni tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest razy dłuższy od pierwszego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że |AP|/|PB|=|CR|/|RD|=3/2 (zobacz rysunek).

Rysunek