Pole rombu

Jak obliczyć pole rombu?

Zarówno wzory na pole jak i obwód rombu wynikają bezpośrednio ze wzorów na pole i obwód równoległoboku. W tym przypadku długości wszystkich boków są takie same, natomiast kat przecięcia się przekątnych rombu ma miarę 90°.

Podstawowy wzór na pole powierzchni rombu jest następujący: romb

Twierdzenie

Pole rombu wyraża się wzorem:

gdzie a jest długością boku rombu, a h jego wysokością (patrz rysunek).

Przykład

Obliczyć pole rombu przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest długość boku a=3,7 oraz wysokość h=3,5. Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole rombu:

$P=3,5\cdot 3,7=12,95$

Inne wzory na pole rombu

Jeżeli są dane przekątne rombu. pole powierzchni tej figury geometrycznej możemy obliczyć z następującego wzoru:

Twierdzenie

Pole rombu wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}d_1d_2$

gdzie d₁, d₂ są długościami przekątnych rombu.

Twierdzenie

Pole rombu wyraża się wzorem:

$P=a^2\cdot \sin{\alpha}$

gdzie a jest długością boku, a α jest kątem między dwoma bokami rombu (patrz na rysunek).

Twierdzenie

Pole P rombu wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=|W|$

Obwód rombu

Twierdzenie

Obwód rombu wyraża się wzorem:

gdzie a jest długością boku rombu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dany jest romb o boku $a=\sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wysokość rombu o polu 3 ma wartość $\frac{3}{2}$ . Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy :

A. 14°<α< 15°
B. 29°<α< 30°
C. 60°<α< 61°
D. 75°<α< 76°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL| 1/3|BE|i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1: 3.
Zadanie maturalne 28 2015